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Hinweis:
Bevor Sie diesen Artikel lesen, stellen Sie bitte sicher, dass Sie Lineare Algebra, Klassische Mechanik und Wahrscheinlichkeitsrechnung gelernt haben.
Die Quantenmechanik basiert auf fünf fundamentalen Postulaten. Diese Postulate stellen für Anfänger oft eine erhebliche Herausforderung dar, da sie nicht aus früheren Prinzipien abgeleitet werden – sie sind axiomatisch. Warum übernehmen wir sie? Die ultimative Rechtfertigung ist empirisch: Alle theoretischen Vorhersagen, die aus diesen Postulaten abgeleitet werden, zeigen eine bemerkenswerte Übereinstimmung mit experimentellen Ergebnissen. Daher akzeptieren wir sie als Grundlage der Theorie, auch wenn ihr inneres “Warum” schwer zu fassen ist.
1. Zustand und Superposition
In der klassischen Mechanik wird der Zustand eines Teilchens genau durch Ort und Impuls beschrieben.
In der Quantenmechanik deuten experimentelle Ergebnisse jedoch darauf hin, dass Zustände inhärent probabilistisch sind.
Wir können nur die Wahrscheinlichkeit beschreiben, ein Teilchen an einem bestimmten Ort zu finden.
Um das Teilchen mathematisch handhabbar zu machen, werden Zustandsvektoren eingeführt. Zur Darstellung dieser Vektoren verwenden wir Dirac-Symbole.
Ein Quantenzustand wird durch einen Ket-Vektor dargestellt,
wobei nur ein Symbol ist, das angibt, um welchen Zustand es sich handelt.
Ein Ket ist ein Vektor in einem Hilbertraum.
Sein hermitesch konjugierter Vektor, bezeichnet als , wird als Bra bezeichnet
(Stellen Sie sich vor, Sie transponieren einen Spaltenvektor und nehmen die komplexe Konjugation seiner Elemente vor).
Schrödinger erklärt das Superpositionsprinzip mit einer Katze.
Bevor die Kiste geöffnet wird,
können wir sagen, dass sich die Katze in einem Zustand von befindet.
Ein solcher Ket-Vektor existiert in einem Hilbertraum mit unendlich vielen Dimensionen. Das innere Produkt ist definiert als:
Das Ergebnis ist ein Skalar.
Ket-Vektoren können mit komplexen Zahlen multipliziert und addiert werden, um einen anderen Ket-Vektor zu erhalten:
wobei und zwei komplexe Zahlen sind.
Postulat des Zustands: Jedem Zustand eines dynamischen Systems zu einem bestimmten Zeitpunkt entspricht ein Ket-Vektor in einem Hilbertraum. Wenn ein Zustand aus der Superposition bestimmter anderer Zustände resultiert, ist sein Ket durch die Komponenten-Kets darstellbar und umgekehrt.
Wir müssen das Superpositionsprinzip hervorheben:
Superpositionsprinzip:
Wenn und mögliche Zustände eines Systems sind, dann ist die Superposition der Zustände
ebenfalls ein möglicher Zustand.
Nehmen wir das obige Beispiel,
ist die Superposition von und .
Dieses Postulat führt zur Superpositions-Symmetrie: Wenn zwei oder mehr Zustände superponiert werden, ist die Reihenfolge, in der sie im Superpositionsprozess auftreten, unwichtig.
Satz:
und ( und ) sind derselbe Zustand.
Warum? Jede komplexe Zahl kann gemäß der Euler-Formel zerlegt werden:
Die Betragskomponente wird schließlich durch Normierung aufgehoben.
Währenddessen, für die Phasenkomponente,
da alle physikalisch messbaren Ergebnisse mit der Wahrscheinlichkeit
zusammenhängen,
wobei
ein anderer Zustand ist, der die Eigenzustände der gemessenen Größe darstellt. (Das werden Sie in den folgenden Kapiteln erfahren)
Angenommen, Zustand A wird einer globalen Phase unterworfen, dann wird dieser Phasenterm quadriert und sein Betrag genommen, dessen Ergebnis schließlich 1 ist und keine Auswirkung hat.
Übrigens,
wenn ,
aber ,
wird das Ergebnis gar nichts sein.
Dann haben sich die beiden Komponenten durch einen Interferenz-Effekt gegenseitig aufgehoben.
2. Operatoren
2.1 Operatoren im Hilbertraum
Funktionen im Hilbertraum werden als Operatoren dargestellt.
Sie können sich das durch Matrizen und Vektoren vorstellen
(aber denken Sie daran, dass Operatoren im Hilbertraum nicht immer linear sind).
Wir legen die Regel fest, dass der Ket rechts vom Operator stehen muss.
Für lineare Operatoren:
Im Allgemeinen gilt .
Definiere den Kommutator:
Wenn ,
kommutieren die beiden Operatoren.
Wir kennen bereits das innere Produkt .
Betrachten wir nun .
Dies ist ein weiterer linearer Operator, der auf andere Ket-Vektoren wirken kann
(stellen Sie sich vor, das Ergebnis ist ebenfalls ein Ket.)
Operatoren können auch konjugiert werden:
Wenn , wird als hermitescher Operator bezeichnet.
Hermitesche Operatoren haben reelle Eigenwerte und können in ihrer Eigenbasis diagonalisiert werden.
Es gibt einen Satz:
Satz: Wenn ein reeller linearer Operator ist und , dann ist .
Beweis: Betrachten wir den ersten Fall, wenn .
Dies ergibt .
Wenn und
Dann gilt . Wenden wir das Ergebnis für an, erhalten wir
Wiederholen wir diese Schritte, erhalten wir das Endergebnis.
2.2 Observablen
Wenn ein linearer Operator und ein Wert die Gleichung
erfüllen,
dann ist der Eigenzustand von
und ist der entsprechende Eigenwert.
Es ist offensichtlich, dass physikalische Messergebnisse reell sein müssen. Wir nehmen an, dass, sobald wir eine Größe messen, der Zustand augenblicklich in einen der Eigenzustände des Operators kollabiert, zufällig, und wir den entsprechenden Eigenwert als Messergebnis erhalten. Dann können wir wissen, dass alle Observablen hermitesche Operatoren sind.
Nun entwickeln wir die Theorie für hermitesche Operatoren.
Die Eigenwerte sind alles reelle Zahlen
Pf.
Angenommen .
Multiplizieren Sie von links mit .
Nehmen Sie die Konjugation,
Dann ist , ist reell.
Die Eigenwerte, die Eigen-Kets zugeordnet sind, sind dieselben wie die Eigen-Bras.
Diese Schlussfolgerung ist offensichtlich aus der ersten abzuleiten. Hier vernachlässigt.
Die konjugierte Imaginärzahl, falls vorhanden, ist ein Eigen-Ket, das zu demselben Eigenwert gehört wie ein Eigen-Bra, und umgekehrt.
Sofort können wir ableiten: Wenn wir zwei oder mehr Eigenzustände einer reellen dynamischen Variablen haben, die zum selben Eigenwert gehören, dann wird jeder durch Superposition gebildete Zustand ebenfalls ein Eigenzustand sein.
Wir haben daher einen Satz:
Satz: Zwei Eigenvektoren einer reellen dynamischen Variablen, die zu verschiedenen Eigenwerten gehören, sind orthogonal.
Pf.
Seien zwei Eigen-Kets der reellen dynamischen Variablen .
Zu beweisen ist .
Multiplizieren Sie separat von links mit bzw. .
Nehmen Sie die Konjugation der zweiten Gleichung,
Dann erhalten wir
Da , ist dann .
Dieser Satz besagt, dass eine Observable eine Menge orthonormaler Eigenzustände besitzt. Darüber hinaus sind diese Eigenzustände nicht nur orthonormal, sondern auch vollständig, was bedeutet, dass jeder Zustand im Hilbertraum durch diese Menge von Eigenzuständen (Eigenbasis) dargestellt werden kann.
Das bedeutet
Wir lassen diese Gleichung vorerst hier stehen.
Nun können wir Postulat 2 einführen:
Postulat der Messung: Jede physikalische Größe ist mit einer Observablen verbunden, die mathematisch ein hermitescher Operator ist. Wir nehmen an, dass, sobald wir eine Größe messen, der Zustand augenblicklich in einen der Eigenzustände des Operators kollabiert, zufällig, und wir den entsprechenden Eigenwert als Messergebnis erhalten.
Beachten Sie, dass die Messung den Zustand ändern kann.
Wenn wir einen Zustand mit einem hermiteschen Operator messen,
angenommen, wir erhalten den Eigenwert und der Zustand kollabiert zu .
Aber wenn wir ihn erneut mit messen,
werden wir definitiv dasselbe Ergebnis erhalten.
2.3 Wahrscheinlichkeit und Projektion
Erinnern Sie sich an die Formel:
Basierend auf dieser Formel
erhob Bohn das Wahrscheinlichkeits-Postulat:
Postulat der Wahrscheinlichkeit:
Bei einer Messung von
ist die Wahrscheinlichkeit, den Wert zu erhalten,
Erklären wir die physikalische Bedeutung von .
Gemäß dem Wahrscheinlichkeits-Postulat,
Daher ist der Koeffizient tatsächlich die Quadratwurzel der Wahrscheinlichkeit, dass der entsprechende Eigenwert gemessen wird.
Wir können auch eine Gleichung extrahieren:
Dann kann jeder Zustand nur durch die Eigenbasis eines hermiteschen Operators dargestellt werden:
Ordnen wir es neu an,
Es gibt ein erstaunliches Ergebnis:
Der Zustand bleibt unverändert, nachdem er durch
operiert wurde.
Offensichtlich ist dies ein Einheitsoperator .
Wenn wir den kontinuierlichen Teil berücksichtigen:
Dies wird als Spektralzerlegungssatz bezeichnet.
Darüber hinaus ist ein Term des Spektralzerlegungssatzes,
ein Projektionsoperator.
Er projiziert einen Zustand auf die Richtung ,
mit einem Koeffizienten von .
Immer noch können wir den Spektralzerlegungssatz auf jeden hermiteschen Operator erweitern.
Mit kontinuierlichem Spektrum,
Wenden Sie auf an
Da zufällig gewählt wird,
Ähnlich wie der elektrische Strom die Änderung der Ladung in einem geschlossenen Volumen pro Zeiteinheit anzeigt, zeigt der Wahrscheinlichkeitsstrom die der Wahrscheinlichkeitsdichte an.
Der elektrische Strom erfüllt die Kontinuitätsgleichung,
also erfüllt auch die Wahrscheinlichkeitsgleichung
(da Ladung und Wahrscheinlichkeitsdichte konstant bleiben,
sie entstehen weder aus dem Nichts noch verschwinden sie ins Nichts)
Die Schrödinger-Gleichung (in Kapitel 9) liefert
Nehmen Sie die Konjugation vor
Berechnen Sie :
Setzen Sie die Schrödinger-Gleichung und ihre Konjugation ein
Die Terme mit heben sich gegenseitig auf
dann
Beachten Sie, dass
daher
Verglichen mit der Kontinuitätsgleichung ist dies bewiesen.
Der obige Beweis liefert die Berechnung des Wahrscheinlichkeitsstroms:
2.4 Erwartungswert
Wenn wir mehrere Messungen an einem Zustand durchführen, können wir jedes Mal unterschiedliche Ergebnisse erhalten. Was ist also die mittlere Anzahl? Dies führt zum Erwartungswert.
Eine Größe, , hat einen Erwartungswert,
der die gewichtete Summe jedes Ergebnisses ist.
Das Quadrat der Wurzel ist die Wahrscheinlichkeit, dieses Ergebnis pro Messung zu erhalten.
Die Varianz einer Observable,
, misst die Streuung oder Unsicherheit in den Messergebnissen.
Sie ist definiert als der Erwartungswert der quadrierten Abweichung vom Mittelwert:
Ein entscheidendes Ergebnis in der Quantenmechanik ist, dass, wenn sich ein System in einem Eigenzustand einer Observable befindet,
die Varianz einer Messung dieser Observable Null ist.
Das bedeutet, es gibt keine Unsicherheit; die Messung wird immer den entsprechenden Eigenwert ergeben.
Wenn sich ein System beispielsweise in einem Energieeigenzustand des Hamilton-Operators befindet,
ist die Varianz seiner Energiemessung Null.
Dies liegt daran, dass in einem Eigenzustand
der Wert der physikalischen Größe genau definiert ist.
Die folgende Berechnung demonstriert dies für den Hamilton-Operator:
Dieses Ergebnis zeigt, dass ein isoliertes Quantensystem eine feste, exakt bestimmte Energie hat.
2.5 Funktionen von Observablen
In diesem Abschnitt,
um diskrete und kontinuierliche Eigenzustände zu vereinheitlichen,
verwenden wir , um Eigenzustände von
anstelle von zu bezeichnen.
Wenn eine Observable ist,
dann ist jede Funktion
ebenfalls eine Observable.
Wir müssen nicht verlangen, dass reell ist,
denn wir können in zwei Teile zerlegen: den Realteil und den Imaginärteil,
was zwei reelle Operatoren sind.
Wenn gemessen wird,
werden auch die beiden Teile automatisch gemessen.
Basierend auf der obigen Diskussion
kann ein Postulat natürlich aufgestellt werden.
Oder wir sagen, ein Operator und seine Funktion haben dieselben Eigenzustände.
Der Grund dafür ist, dass, wenn der Operator gemessen wird,
die Funktion automatisch mitgemessen wird.
Die Funktion selbst misst keine Zustände,
sondern empfängt nur Ergebnisse von .
Wir versuchen, einen Satz aufzustellen:
Satz: Wenn eine Observable ist, dann ist jede Funktion ebenfalls eine Observable.
Pf.
Wir können sicherheitshalber als reell annehmen.
(Grund siehe oben)
Erweitern Sie mit dem Spektralsatz
Dann kann definiert werden als
Wir müssen beweisen, dass hermitesch ist.
Es gibt auch einen wichtigen Satz namens Hellmann-Feynman-Theorem:
Satz:
ist ein Hamilton-Operator, der von einem kontinuierlichen Parameter abhängt.
ist sein Eigenzustand mit dem Eigenwert . Dann gilt:
Pf.
Da , gilt
.
2.6 Allgemeine Methode für hermitesche Eigenschaften
Die allgemeine Methode zum Beweisen von Eigenschaften hermitescher Operatoren besteht darin,
zwei Vektoren anzuwenden, um ein inneres Produkt zu erhalten.
Wenn der Operator hermitesch ist,
dann sollte die folgende Gleichung gelten:
Zum Beispiel müssen wir beweisen, dass
Dann nehmen wir das innere Produkt:
Dann ist die Schlussfolgerung bewiesen.
2.7 Matrixmechanik
Da Operatoren in Hilbert-Räumen lineare Transformationen sind.
In einem Raum mit endlichen, diskreten Dimensionen
können sie durch Matrizen dargestellt werden.
Angenommen, zwei Zustände ,
sind durch eine lineare Transformation verbunden:
Mittlerweile können sie durch eine Menge von Eigenbasen zerlegt werden:
Durch Projektion
ist der -te Koeffizient von :
Dies ist die Komponentenform der Multiplikation von Matrizen und Vektoren.
Erweitern Sie dies,
wir können die Matrixform von explizit schreiben:
2.8 Wellenfunktion
Unter einer spezifischen Darstellung (z. B. Ortsdarstellung) kann ein abstrakter Zustandsvektor durch eine Wellenfunktion dargestellt werden.
Nehmen wir den Ortsoperator als Beispiel.
Im Gegensatz zu früheren Operatoren
kann kontinuierliche Werte annehmen,
daher besitzt
eine kontinuierliche Eigenbasis.
Unter der Ortsdarstellung kann die Wellenfunktion dargestellt werden durch
Ähnlich wie bei den zuvor,
,
unter der kontinuierlichen Eigenbasis,
gemäß dem Wahrscheinlichkeits-Postulat,
wird zur Wahrscheinlichkeitsdichte,
ein Teilchen an zu finden.
Mit der Wellenfunktion
können das innere Produkt und der Erwartungswert auch als Integral geschrieben werden:
Hier operiert auf .
Die Normierungsbedingung wird zu
Physikalisch muss die Wellenfunktion bestimmte Bedingungen erfüllen:
Die Wellenfunktion muss stetig sein.
Diese Bedingung ergibt sich aus der physikalischen Anforderung. Wenn die Wellenfunktion an einem bestimmten Punkt springt, kann die Wahrscheinlichkeitsdichte an diesem Punkt nicht bestimmt werden. Dies ist in der Physik inakzeptabel.
Die erste Ableitung der Wellenfunktion muss ebenfalls stetig sein:
Diese Bedingung ergibt sich aus der Schrödinger-Gleichung. Wenn diese Bedingung nicht erfüllt ist, wird es eine Delta-Funktion geben. Wenn das Potential eine endliche Funktion ist, kann die Gleichung nicht gelten.
Eindimensionale unendliche Potentialmulde bedeutet eine Potentialmulde, die
Innerhalb der Mulde befindet sich ein Elektron.
Offensichtlich wird das Elektron niemals außerhalb der Mulde erscheinen.
Dann gilt
Da die Wellenfunktion stetig ist,
muss sie an der Grenze 0 sein,
oder die Wellenfunktion wird außerhalb der Mulde einen von Null verschiedenen Wert annehmen,
was zu einem Konflikt führt.
Also
Innerhalb der Mulde vereinfacht sich die Schrödinger-Gleichung zu
Diese Gleichung hat eine allgemeine Lösung:
Wenden Sie die Randbedingung an,
Wir können dann die Eigenwerte der Energie erhalten:
Normieren Sie die Wellenfunktionen,
wir erhalten
Dieses Beispiel zeigt, dass Randbedingungen (stehende Wellen) zur Quantisierung führen müssen.
Es gibt auch eine Frage: Warum muss sich das Elektron in der Mulde bewegen und nicht stillstehen?
Erinnern Sie sich an das Unschärfeprinzip.
Wenn das Elektron stillsteht,
muss der Impuls nicht Null sein,
was das Elektron zur Bewegung zwingt.
Sobald es sich jedoch bewegt, wird die Verschiebung
von 0 weggetrieben.
Dies verursacht einen Konflikt.
3. Unschärfe
Erinnern Sie sich an die Kommutatoren:
Wir müssen zuerst beweisen, dass kommutierende Operatoren dieselben orthonormalen Eigenbasen haben.
Angenommen .
Schritt 1: Nicht-entartete Eigenzustände von (ein Eigenwert entspricht nur einem Eigenzustand)
Angenommen, ist ein Eigenzustand von .
Lassen Sie auf diesen Zustand wirken,
und lassen Sie dann erneut darauf wirken:
Diese Gleichung zeigt, dass ebenfalls ein Eigenzustand von ist,
mit demselben Eigenwert .
Da nicht-entartet ist,
impliziert dies, dass kein anderer Zustand,
außer einem konstanten Vielfachen,
ein Eigenzustand von mit dem Eigenwert ist.
Daher muss der neue Zustand identisch mit sein
(nur um eine Konstante abweichend).
Schritt 2: Entarteter Zustand
Angenommen, ist -fach entartet,
entsprechend .
Diese Zustände spannen einen -dimensionalen Unterraum auf, genannt .
Jeder Zustand in diesem Zustand erfüllt .
Wie zuvor betrachten wir .
ist immer noch ein Eigenzustand mit dem Eigenwert a. Daher muss er auch zu gehören. Wir können sagen, dass erhält.
Da hermitesch ist, gibt es in eine neue Basis, die auch eine Menge von Eigenzuständen von ist. Nennen wir sie . Sie erfüllen
Währenddessen gilt . Bewiesen.
Dann können wir das Unschärfeprinzip erhalten:
Unschärfeprinzip: Für Zustände beliebiger Paare physikalischer Eigenschaften, deren Operatoren nicht kommutieren, ist es unmöglich, beide Eigenschaften gleichzeitig mit perfekter Genauigkeit zu kennen.
Pf.
Zuerst definieren wir die Standardabweichung.
Nun nehmen wir zwei Standardabweichungen und multiplizieren sie. In der Mathematik gilt die Cauchy-Schwarz-Ungleichung.
Im Hilbertraum gilt sie immer noch.
Nun sei und .
Vereinfacht ergibt sich:
Wegen:
ist ein Antikommutator. Da und .
Dann ist reell und imaginär. Wir erhalten schließlich:
Das Wesentliche daran ist, dass, wenn zwei Operatoren nicht kommutieren, sie nicht dieselben Eigenzustände haben. Wenn man also diese beiden Operatoren anwendet, weiß der Zustand nicht, in welchen Zustand er kollabieren soll. Diese “Verwirrung” führt zur Unschärfe. Es handelt sich nicht um einen Messfehler. Stattdessen ist es ein entscheidender Unterschied zwischen der Quantenwelt und der klassischen Welt.
Beispiel: Impuls und Ort
Ein freies Teilchen erfüllt die Schrödinger-Gleichung
Löst man die Gleichung,
kann man feststellen, dass ein freies Teilchen durch eine ebene Welle beschrieben werden kann:
De Broglie sagte uns,
Ignoriere die Zeit (stationär),
Der Impulsoperator sollte die Eigenfunktion erfüllen:
Leiten Sie beide Seiten ab:
Ordnen Sie neu an,
Daher erhalten wir schließlich
Es gibt ein berühmtestes Beispiel für die Unschärfe zwischen und .
Die beiden Operatoren kommutieren nicht,
daher können sie nicht gleichzeitig gemessen werden.
4. Zeitentwicklung
4.1 Zeitabhängige Schrödinger-Gleichung
Wir haben zuvor erwähnt, dass Zustände normiert bleiben müssen, was
bedeutet.
Daher müssen die Zustände auch bei Zeitentwicklung normiert bleiben.
Dies führt zu einem Postulat:
Postulat der Entwicklung: Die Zeitentwicklung ändert nicht den Betrag der Zustände.
Das bedeutet, dass ein Zustand zur Zeit vom Anfangszustand abhängt.
Erinnern Sie sich an das Superpositionsprinzip,
nehmen Sie zwei Anfangszustände und ,
dann ist die Linearkombination
ebenfalls ein gültiger Anfangszustand.
Weiterhin ist die Zeitentwicklung ein Prozess, der den Anfangszustand
in einen Zustand zu einer späteren Zeit abbildet.
Wir können einen Operator zur Darstellung der Entwicklung verwenden.
Wenden Sie diesen Operator auf den kombinierten Zustand an:
Der Zeitentwicklungsoperator ist also ein linearer Operator.
Darüber hinaus,
gemäß dem Postulat der Entwicklung,
bleibt die Größe vor und nach der Entwicklung eins.
Dann
also
Dies zeigt, dass der Zeitentwicklungsoperator unitär ist.
Wir gehen zum infinitesimalen Fall über, indem wir setzen und den Grenzwert annehmen
existiert.
Dieser Grenzwert ist nur eine Ableitung:
Bei dieser infinitesimalen Entwicklung
ist der Grenzwertoperator nahe dem Einheitsoperator .
Wir können den Operator schreiben als
Da unitär ist,
setzen Sie die unitäre Bedingung ein.
Ignorieren Sie den Term höherer Ordnung
und kürzen Sie ,
Daher ist anti-hermitesch.
Beachten Sie, dass der Grenzwertoperator nur ist,
also wird die Gleichung zu
Da anti-hermitesch ist,
hat er nur rein imaginäre Eigenwerte.
Wir multiplizieren mit einer rein imaginären Zahl , um einen reellen Operator zu erhalten.
ist dann ein hermitescher Operator.
Die Gleichung wird zu
Dies ist die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung.
Es gibt noch ein ungelöstes Problem:
Was ist die physikalische Bedeutung des Operators ?
Er ist hermitesch,
also ist er vielleicht eine physikalische Observable.
Tatsächlich haben Experimente bestätigt, dass die Gesamtenergie des Systems (Hamilton-Operator) ist.
Ein System mit einem zeitunabhängigen Hamilton-Operator ist der trivialste Fall.
Wenn die Gleichung in diesem Fall gelöst wird,
erhalten wir schließlich die Lösung
wobei der Zeitentwicklungsoperator
ist.
4.2 Stationäre Schrödinger-Gleichung
Aus der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung können wir unter der Ortsdarstellung die zeitunabhängige Form ableiten.
Um die zeitunabhängige Form abzuleiten, nehmen wir an, dass der Hamilton-Operator zeitunabhängig ist. Dies ermöglicht es uns, die zeitlichen und räumlichen Teile des Zustandsvektors zu trennen. Wir können den Zustandsvektor als Produkt eines zeitunabhängigen Kets und einer zeitabhängigen Skalarfunktion ausdrücken:
Setzen Sie diese Form in die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung ein:
Da und zeitunabhängig sind, können wir diesen Ausdruck vereinfachen:
Um die Variablen zu trennen, teilen wir beide Seiten durch . Die linke Seite hängt nur von der Zeit ab, während die rechte Seite nur vom Zustand abhängt. Damit dies zutrifft, müssen beide Seiten gleich einer Konstanten sein, die wir die Energie des Systems nennen.
Der zeitunabhängige Teil liefert uns die abstrakte zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung:
Um die Gleichung in der Ortsdarstellung zu erhalten, multiplizieren wir von links mit dem Orts-Eigenzustand :
Per Definition ist die zeitunabhängige Wellenfunktion im Ortsraum.
Der Hamilton-Operator ist der Operator der Gesamtenergie, bestehend aus kinetischer und potentieller Energie:
In der Ortsdarstellung wird der Impulsoperator zu einem Differentialoperator und der Ortsoperator zu einem multiplikativen Operator. Daher nimmt der Hamilton-Operator die Form an:
Setzen wir dies in unsere Gleichung ein, erhalten wir die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung in der Ortsdarstellung:
Diese Differentialgleichung beschreibt die stationären Zustände eines Quantensystems mit einem zeitunabhängigen Hamilton-Operator. Ihre Lösungen, , sind die Wellenfunktionen dieser Zustände, und die Eigenwerte, , sind die entsprechenden möglichen Energiewerte.
Beispiel: Spin des Elektrons
Ein Elektron hat zwei Spinzustände:
in Richtung und in Richtung ,
mit Energien von und bzw.
Gegeben sei der Anfangszustand
Dieser Zustand ist tatsächlich .
Mit der Zeitentwicklung,
Finden wir die Wahrscheinlichkeit für nach der Zeit .
Wir müssen zuerst den Koeffizienten ermitteln:
Dann
Übrigens,
da und eine vollständige orthonormale Eigenbasis bilden können,
ist es natürlich festzustellen, dass und ebenfalls eine vollständige orthonormale Eigenbasis bilden können (Symmetrie).
Wenn wir und als Eigenbasis nehmen,
gemäß der Vollständigkeit,
kennen wir die Wahrscheinlichkeit für durch Subtraktion von von 1:
4.3 Nicht-hermitesches System mit imaginärem Potential
In der Standard-Quantenmechanik müssen Observablen hermitesch sein. In einem offenen System kann der Hamilton-Operator jedoch aufgrund des Austauschs von Teilchen oder Energie mit der Umgebung nicht hermitesch sein.
Betrachten wir ein imaginäres Potential
Diese Gleichung liefert die Lösung
wobei die nach rechts gehende Welle und die nach rechts gehende Welle bedeutet.
Der Wahrscheinlichkeitsstrom
Der Strom zerfällt in der ausgehenden Richtung (exponentieller Abfall).
Darüber hinaus
bedeutet der Zerfall des Stroms immer Absorption.
Definiere den Absorptionskoeffizienten
Daher
bedeutet ein imaginäres Potential immer, dass eine Absorption stattfindet.
4.4 Transformation in den Impulsraum
Erinnern Sie sich an die Wellenfunktion im Ortsraum.
Für einen Zustand ,
Die Schrödinger-Gleichung liefert .
Dann
Der Prozess ist im Impulsraum ähnlich.
Wir haben
Weiter
Das in der Gleichung eingefügte und dient dazu, in aufzuheben.
Mit der Gleichung
Dann
Dann erhalten wir schließlich
4.5 Ehrenfest-Theorem
Das Ehrenfest-Theorem stellt die grundlegende Verbindung zwischen der Zeitentwicklung von quantenmechanischen Erwartungswerten und den klassischen Bewegungsgleichungen her. Das allgemeine Theorem besagt, dass für jeden Operator die Zeitableitung seines Erwartungswertes gegeben ist durch:
wobei der Hamilton-Operator des Systems ist.
Wir beginnen mit der Definition des Erwartungswertes:
Nehmen Sie die Zeitableitung und wenden Sie die Produktregel an:
Die Zeitentwicklung des Zustandsvektors wird durch die Schrödinger-Gleichung bestimmt:
und ihre hermitesch konjugierte Gleichung:
Setzen Sie diese Ausdrücke in unsere Ableitung ein:
Schreiben Sie dies mit Dirac-Notation um:
Kombinieren Sie den ersten und dritten Term:
Da , erhalten wir:
Dies vervollständigt den allgemeinen Beweis des Ehrenfest-Theorems. Für Operatoren ohne explizite Zeitabhängigkeit entfällt der zweite Term, und die Zeitentwicklung wird ausschließlich durch den Kommutator mit dem Hamilton-Operator bestimmt.
Für den Ortsoperator ohne explizite Zeitabhängigkeit:
Verwenden Sie den Standard-Hamilton-Operator und die kanonische Kommutationsrelation , um Folgendes zu finden:
was zu Folgendem führt:
Für den Impulsoperator ohne explizite Zeitabhängigkeit:
Der entscheidende Kommutator ist:
was ergibt:
Diese Ergebnisse zeigen, wie das Ehrenfest-Theorem die klassischen Bewegungsgleichungen für die Erwartungswerte von Quantenoperatoren wiederherstellt.
5. Zusammenfassung der Postulate
Zustand: Der Quantenzustand wird durch einen Vektor im Hilbertraum dargestellt.
Messung: Eine Observable entspricht einem hermiteschen Operator. Die Messung liefert eines der Eigenwerte als Ergebnis. Der Zustand kollabiert nach der Messung zum Eigenzustand.
Wahrscheinlichkeit: Die Wahrscheinlichkeit, einen Eigenwert zu erhalten, hängt vom Betragsquadrat der Wellenfunktion ab.
Zeitliche Entwicklung: Die Entwicklung des Zustands wird durch die Schrödinger-Gleichung bestimmt.
Wie beim klassischen Oszillator von ,
im Quantensystem,
(Für kompliziertere Systeme,
Taylor-Entwicklung um den Punkt anwenden)
Die Schrödinger-Gleichung des harmonischen Oszillators lautet
wobei der Hamiltonoperator
Definiere zwei Operatoren:
Aufsteigeoperator
Absteigeoperator
Es ist offensichtlich, dass die beiden Operatoren zueinander hermitesch sind.
Wir multiplizieren sie miteinander:
Dann haben wir
Der Kommutator ist ebenfalls klar:
Konzentrieren wir uns nun auf die physikalische Bedeutung von “Auf- und Absteigen”.
Wir wissen bereits
Nehmen wir das innere Produkt
Als Nächstes bestimmen wir die Normierungskonstanten.
Betrachten wir nun den Aufsteigeoperator.
Hier müssen wir den Kommutator anwenden.
Wir können die Normierungskonstante für den Erzeugungsoperator finden.
Daher,
6.2 Energieniveaus
Angenommen
Dann
Der Auf- und Absteigeoperator operiert auf die Eigenzustände und hebt sie auf das nächste Energieniveau an bzw. senkt sie ab. Bei einem harmonischen Oszillator beträgt die Erhöhung .
Physikalisch gibt es einen Grundzustand. Daher muss es einen Zustand geben, der erfüllt
Für den Grundzustand.Daher ist die Grundenergiemit einer Erhöhung von .
Obwohl in dem Problem nur ein Teilchen vorhanden ist,
können wir auch als ein "Energiequant" betrachten.
Aus dieser Sicht
werden die Auf- und Absteigeoperatoren auch als
"Erzeugungsoperator" und "Vernichtungsoperator" bezeichnet,
da sie ein Teilchen zum System hinzufügen oder daraus entfernen.
Eine solche Sichtweise ist in Mehrteilchensystemen häufiger anzutreffen.
Sie können dies im folgenden Link sehen.[Thermodynamik 3 - Quantenstatistische Mechanik](https://elecannonic.github.io/categories/physics/thermo/#part-iii.-quantum-statistical-mechanics)
6.3 Besetzungsoperator
Definiere die Besetzungszahl
was die Hauptquantenzahl angibt.
Mit wurden alle Eigenwerte gefunden.
Angenommen , .
dann
Dies steht im Widerspruch zur Positivität des Eigenwerts.
6.4 Wellenfunktion
Beginnen wir mit dem Grundzustand.
Das bedeutet
Lösen dieser Gleichung,
Normierung im gesamten Raum
Schließlich
Für Zustände mit höherer Energie
müssen wir den Aufsteigeoperator verwenden.
6.5 Tunneln
Wenn wir die Wellenfunktionen von angeregten Teilchen (Energie höher als Grundzustand) betrachten, können wir einen kritischen Unterschied zwischen klassischer und Quantenmechanik feststellen: Das Teilchen kann an Positionen auftreten, deren Potenzial höher ist als die Energie des Zustands.
Skizze des Tunnelns
Dieses Phänomen wird als Tunneln bezeichnet.
6.6 Mittelwert der potentiellen Energie
Für jeden -ten Zustand ,
Wir können durch Auf- und Absteigeoperatoren darstellen:
Aufgrund der Orthonormalität,
Also
Daher können wir die kinetische Energie erhalten
Beispiel:
Ein Elektron, das in einem harmonischen Oszillator-Grundzustand eingeschlossen ist.
Die Standardabweichung .
Welche Energie wird benötigt, um den ersten angeregten Zustand zu erreichen?
Im Grundzustand ist die Wellenfunktion
Führe die Eigenlänge ein,
die Wellenfunktion vereinfacht sich:
Dies ist eine Gaußsche Verteilung mit der mittleren Anzahl 0 und der Standardabweichung .
Daher
Dann
6.7 Kohärente Zustände
Wir versuchen zunächst, den Eigenzustand des Absteigeoperators zu finden.
Beachten Sie, dass der Absteigeoperator nicht hermitesch ist,
muss nicht reell sein.
Mit einer Menge orthonormaler Eigenzustände ,
gemäß der Vollständigkeit des Hilbertraums,
Zur Vereinfachung der Berechnung
müssen wir auf reduzieren
(da mit dem hermiteschen Polynom zusammenhängt, was schwer zu berechnen ist).
Um dieses Ziel zu erreichen,
verwende Auf- und Absteigeoperator
Setze den Koeffizienten in die Zerlegung ein
wobei ein Normierungsfaktor ist.
Da für ein bestimmtes eine Konstante ist,
kann es in den Normierungsfaktor absorbiert werden.
Zu einem späteren Zeitpunkt, mit dem Zeitentwicklungsoperator,
Definiere ,
dann
Dies ist der Eigenzustand des Absteigeoperators, genannt kohärenter Zustand.
In diesem Zustand,
Da zeitabhängig ist,
ist der Anfangswert
wobei die anfängliche globale Phase ist.
Setze dies ein,
Dieses Ergebnis zeigt, dass der Mittelwert der Position mit der Zeitentwicklung oszilliert,
was dem klassischen Oszillator ähnelt.
Die Standardabweichung
Dies ist ein Gaußsches Wellenpaket.
7. Freie Teilchen
7.1 Zerlegung in den Impulsraum
Ein freies Teilchen ist definiert als ein Teilchen ohne Potenzial, .
Seine Schrödinger-Gleichung lautet
Die allgemeine Lösung ist
Zeitliche Entwicklung anwenden,
Wenn negative Werte annehmen darf,
kann die Wellenfunktion in einem Term zusammengefasst werden
Dies ist die Standardform einer ebenen Welle.
Durch Vergleich beider Formen
führen wir natürlich die Dispersionsrelation ein:
Nach der Wellenmechanik
hat die ebene Welle eine Phasengeschwindigkeit und eine Gruppengeschwindigkeit:
Die Definition der Phasengeschwindigkeit ist die Geschwindigkeit ebener Phasenflächen.
Die Ebene erfüllt
Und die Gruppengeschwindigkeit ist die Geschwindigkeit des gesamten Wellenpakets,
das aus vielen Komponenten überlagert ist.
Wenn bei einen Peak hat
(Dies bedeutet, dass die kritischste Frequenzkomponente ist),
entwickle es mit der Taylor-Reihe:
Setze es ein,
Die Welle kann in zwei Terme zerlegt werden:
Träger bewegt sich mit Phasengeschwindigkeit,
und der Integralterm ist nur die Funktion von .
Daher bewegt sich dieser Term mit der Geschwindigkeit .
Diese Geschwindigkeit ist die Geschwindigkeit der Einhüllenden, definiert als Gruppengeschwindigkeit.
Kehren wir zur Wellenfunktion des freien Teilchens zurück.
Wir versuchen, sie zu normieren:
Die Wellenfunktion kann nicht normiert werden!
Daher kann für ein freies Teilchen mit einem bestimmten Impuls
dies nicht als Wellenfunktion verwendet werden.
Oder anders ausgedrückt,
ein freies Teilchen hat keinen bestimmten Energie oder Impuls,
und es entwickelt sich nicht als ebene Welle.
Währenddessen
ist der Impuls in einer Wellenfunktion mit präzisem eindeutig bestimmt.
Gemäß der Unschärferelation
muss die Position dieses Zustands völlig unbestimmt sein.
Um mit einer so störenden Wellenfunktion umzugehen,
sollten wir die Eigenschaft von nutzen.
Die Wellenfunktion von sind ebene Wellen:
Offensichtlich ist hermitesch,
die Zustände von müssen orthogonal sein.
Also für eine ebene Welle
verlangen wir nicht mehr ,
stattdessen
zerlegen wir die Wellenfunktion in Kombinationen von Zuständen mit unterschiedlichem Impuls
und verlangen die Gesamtnormierung
wobei ein Normierungsfaktor ist.
Dies ist eine Fourier-Rücktransformation,
was bedeutet, dass die Wellenfunktion eines freien Teilchens eine Überlagerung von Komponenten mit allen -Werten ist.
ist die Wellenfunktion im -Raum,
erhalten durch Fourier-Transformation:
Und dies bestimmt die Komponenten verschiedener Frequenzen
(stellen Sie sich den Frequenzbereich in der Signalverarbeitung vor).
Beachten Sie auch, dass es keine Quantenzahl in der Wellenfunktion gibt. Die Energie freier Teilchen ist nicht quantisiert, da es keine Randbedingungen (stehende Welle) gibt.
7.2 Ausbreitung freier Teilchen
Da die Wellenfunktion
Durch Fourier-Transformation,
einsetzen, um die Wellenfunktion zu erhalten
wobei
Die Wellenfunktion hat die Form eines Gaußschen Wellenpakets,
das nun normiert werden kann:
Wenn wir die Geschwindigkeit und den Parameter definieren,
dann
Offensichtlich
nimmt mit fortschreitender Zeit die Unsicherheit von allmählich zu,
was bedeutet, dass sich die Position allmählich über den gesamten Raum ausbreitet.
Währenddessen
nimmt gemäß der Heisenbergschen Unschärferelation
die Impulsunsicherheit allmählich ab.
Mit der Zeit
konvergiert der Impuls zu einem Wert und Sie können den Impuls genauer messen.
8. δ-Potential
8.1 Gebundene Zustände und Streuzustände
Gebundener Zustand: Ein Zustand, der in einem Potenzial gefangen ist.
Streuzustand: Ein Zustand, der sich unendlich weit ausbreiten kann.
Hinweis: Aufgrund des Tunnelns, auch wenn ein Zustand mit Energie in einem Potenzialtopf mit gefangen ist, gibt es immer noch eine Wahrscheinlichkeit ungleich Null, dass das Teilchen außerhalb des Potenzialtopfs erscheint. Solche Zustände werden auch als Streuzustände bezeichnet.
8.2 δ-Topf
Betrachten Sie einen -Potentialtopf:
Die Schrödinger-Gleichung
Gebundener Zustand:
Bei wird die Schrödinger-Gleichung als behandelt:
Unter Berücksichtigung der Randbedingung für ist die Lösung:
Die -Funktion wirkt als Randbedingung bei .
Kontinuität bei .
Durch Normierung:
ergibt .
Die Integration um ():
wobei
Vernachlässigung von infinitesimalen Größen erster Ordnung:
Einsetzen der Wellenfunktion
Für :
ergibt:
dann ist die Wellenfunktion vollständig bestimmt:
Streuzustand:
Die S.G.:
Angenommen, die Lösung ist:
Bei :
Um :
Zusammenfassung der Gleichungen:
Definiere
Angenommen, die Welle wird von links injiziert, dann können die 4 Terme erklärt werden.
A: einfallende Welle
B: reflektierte Welle
C: transmittierte Welle
D: einfallende Welle von rechts. .
Delta-Topf und Wellen
Löse die obigen Gleichungen.
Die Wahrscheinlichkeitsdichte, die jeweils besetzt ist:
Definiere die Reflexionsrate
und die Transmissionsrate
Offensichtlich
Dies zeigt Energieerhaltung.
Übrigens, gegeben, dass ,
Wenn steigt, steigt und zerfällt. Wenn , , was die Intuition der klassischen Mechanik markiert. Und für die Reflexion wissen wir, dass eine plötzliche Änderung des Mediums einen Teil der Welle reflektiert. In der Quantenmechanik ist das dasselbe.
8.3 δ-Barriere
Verglichen mit dem -Topf, ändere einfach zu . In dieser Situation gibt es keine gebundenen Zustände. Für Streuzustände,
ist nicht 0. Das bedeutet, ein Teilchen mit endlicher Energie kann eine unendlich hohe Potenzialbarriere durchdringen (Tunneln).
9. Endliches Quadratpotential
9.1 Endliche Quadratbarriere
Endliche Quadratbarriere
Der Raum kann in 3 Regionen unterteilt werden.
,
,
, ( Term verschwindet, da hier keine Reflexionswelle vorhanden ist)
wobei , .
Bei :
Bei :
Wenn als Basis verwendet wird, können alle Wellen mit ausgedrückt werden.
Reflexion:
An der Barriere:
Transmission:
Die Reflexions- und Transmissionsrate sollte sein:
Wir können direkt erhalten:
was die Wahrscheinlichkeitserhaltung anzeigt.
In den meisten praktischen Fällen ist , und näherungsweise gilt:
9.2 WKB-Näherung.
Für ein kontinuierliches Potential kann es in viele kleine Quadratbarrieren mit infinitesimaler Breite unterteilt werden.
Endliche Quadratbarriere
Und in diesem Fall ist die Variation von V gering. Der Exponentialterm spielt eine viel wichtigere Rolle als der Koeffizient. Daher wird der Koeffizient als 1 betrachtet. Dann sollte die gesamte Transmissionsrate sein:
Dieser Prozess wird WKB-Näherung genannt. Eine Anwendung davon ist der -Zerfall. Wir werden die Lebensdauer des radioaktiven Isotops berechnen.
zerfällt durch -Zerfall.
Der Radius von ist
Und das Potential an der Oberfläche
Beim -Zerfall spielt die Coulomb-Kraft die Hauptrolle, daher gilt für :
Da , ist das Potential zwischen und die Barriere, wobei .
Der -Zerfall tritt nur auf, wenn das -Teilchen die Barriere durchquert.
Die Transmissionsrate
wobei
Da , , approximieren wir den Arkus mit
Dies leitet ab:
Wir nehmen an, dass sich das -Teilchen mit einer Geschwindigkeit wie ein freies Teilchen bewegt.
Die Frequenz, mit der die Wand kollidiert wird, ist:
Nur davon kann die Wand durchdringen.
ist die Zerfallskonstante. Eingesetzt in die Zerfallsgleichung:
Lösen wir das:
und die mittlere Lebensdauer:
Daten einsetzen:
Dies ist eine semi-klassische Schätzung. Verglichen mit der experimentellen Messung von , ist dieses Ergebnis akzeptabel.
9.3 Endlicher Quadrat-Topf.
Endlicher Quadrat-Topf
Angenommen . Die gleiche Methode zur Behandlung der Wellenfunktionen.
wobei ,
Zur Vereinfachung führen wir einen Satz ein.
Satz: Wenn , dann kann immer so gewählt werden, dass es entweder gerade oder ungerade ist.
Beweis. Betrachten wir die räumliche Inversion der Schrödinger-Gleichung:
Die Operatoren auf beiden Seiten ändern sich nach räumlicher Inversion nicht. Daher ist ebenfalls eine Lösung. Wir können zwei neue Funktionen definieren:
Nach dem Superpositionsprinzip sind dies ebenfalls Lösungen der Schrödinger-Gleichung und sind getrennt gerade und ungerade Funktionen. Darüber hinaus wird eine Wellenfunktion, die erfüllt, als Zustand mit gerader Parität bezeichnet; wird als Zustand mit ungerader Parität bezeichnet.
Zurück zum endlichen Quadrat-Topf. Wir nehmen an, der Quadrat-Topf befindet sich zwischen und . Dann für die Lösung mit gerader Parität:
mit der Randbedingung bei .
ergibt:
Definieren:
ergibt:
Lösen der Gleichung mit Diagrammen:
Unabhängig davon, wie flach der Topf ist, muss es mindestens einen Schnittpunkt geben, was bedeutet, dass es gebundene Zustände gibt. Tatsächlich bestimmt die Position von die Anzahl der gebundenen Zustände.
Ähnlich für ungerade Parität:
Die Anzahl ist:
Für :
wobei ,
Randbedingung anwenden:
Transmissionsrate:
Beachten Sie, dass wenn , . Der Topf kann als transparent betrachtet werden.
Und wenn , , dann , . Das Ergebnis wird klassisch.
10. 3D-Quantenmechanik
10.1 3D-Schrödinger-Gleichung
Zurück zur ursprünglichen Schrödinger-Gleichung. Im zentralen Potential:
wobei
Betrachten wir ein zentrales Potential . Definieren Sie den Drehimpuls:
Meistens diskutieren wir , was die Größe des Drehimpulses darstellt:
Unabhängig von der Zeit gilt:
Durch Trennung der Variablen :
Die beiden Teile sind unabhängig. Wir definieren:
Um mathematische Schlussfolgerungen besser anwenden zu können. Erinnern wir uns an . Die Gleichung für die Winkel ist:
Diese Gleichung versucht, die Eigenfunktionen von zu finden, und ist ein Index der Rotation. Zur Vereinfachung muss die Normierung separat erfolgen:
Weiteres Trennen von durch :
wird gelöst durch:
Diese Funktion muss periodisch sein:
Daher:
ist quantisiert.
Zurück zu . Mathematiker sagen, die Lösung sei mit den Legendre-Polynomen assoziiert.
Für jedes gegebene gibt es mögliche Werte für . werden als Bahndrehimpulsquantenzahl und magnetische Bahndrehimpulsquantenzahl bezeichnet. Die Gesamtlösung für ist gegeben durch:
Normierung zur Bestimmung des Koeffizienten:
Einsetzen einiger -Werte ergibt einige Verteilungen.
Werte einiger Kugelflächenfunktionen
Elektronenbahnen einiger harmonischer Werte
Wenn das in einem Atom vorliegt, erhalten wir die s-, p-, d-, f-Bahnen.
Die Radialgleichung hängt von ab.
Zur Vereinfachung definieren wir , dann
Die Gleichung wird zu:
Der neue Term wird als effektives Potential definiert. Der Term repräsentiert den Zentrifugalterm. Für ein solches Potential gibt es eine Kraft:
die Teilchen in ihr vom Zentrum wegtreibt. Dieses zusätzliche Potential wird durch den Drehimpuls eingeführt.
10.2 Unendlicher sphärischer Potentialtopf
Gegeben sei das Potential , die Radialgleichung lautet:
Der trivialste Fall ist . Dann:
Mit endlich, dann ist .
Der Wert von wird durch die Randbedingung bestimmt:
Ableitung des Energieniveaus:
Das ist das Energieniveau ohne Rotation ().
Und durch Normierung:
Es scheint, dass das Ergebnis dasselbe ist wie im eindimensionalen Fall. Aber die gesamte Wellenfunktion sollte die Winkelterme berücksichtigen:
Wenn nicht null sind, ist die allgemeine Lösung der Radialgleichung:
ist eine Kombination aus zwei Arten von sphärischen Bessel-Funktionen:
Wiederum muss der Wert von endlich sein. Daher:
Bezeichnen wir die -ten Nullstellen von als . Dann ist das Energieniveau:
Die gesamte Wellenfunktion ist:
Beachten Sie, dass unabhängig von in der Wellenfunktion ist, was auf eine Entartung hindeutet. Für dasselbe gibt es gültige Werte für . Daher gibt es verschiedene Zustände mit derselben Energie .
10.3 Wasserstoffatom
Ein Wasserstoffatom besteht aus einem schweren, ruhenden Proton und einem viel leichteren Elektron. Das Atom wird hauptsächlich durch das Coulomb-Potential aufrechterhalten:
Dies ist ein Zweikörpersystem. Ein solches System ist äquivalent zu einem idealen ruhenden Zentrum und einem Elektron mit effektiver Masse:
Die Masse ist sehr nahe an , daher schätzen wir mit zur Vereinfachung. Schreiben wir nun die radiale Schrödinger-Gleichung:
Das gesamte effektive Potential kann gezeichnet werden.
Effektives Potential des Wasserstoffatoms
Offensichtlich sind Zustände mit gebunden, während Zustände mit gestreut sind. Definieren:
Schreiben Sie die Gleichung neu:
Fall 1,
Approximieren Sie die Gleichung als:
Fall 2,
Approximieren Sie die Gleichung als:
ergibt:
Im Allgemeinen erwarten wir:
und sollte eine einfachere Form haben.
Einsetzen in die ursprüngliche Funktion ergibt:
Um diese Gleichung zu lösen, wenden wir die Reihenmethode an. Angenommen:
und finden eine Rekursionsgleichung:
wird durch die Normierungsbedingung bestimmt. wird als assoziiertes Laguerre-Polynom definiert.
Wenn die Reihe nicht abbricht (wenn ):
Wenn jedoch , divergiert , was für eine Wellenfunktion inakzeptabel ist. Daher muss die Reihe bei einem maximalen Wert abbrechen, gegeben durch die Bedingung :
Da eine nicht-negative ganze Zahl ist, muss eine gerade ganze Zahl sein. Um experimentelle Ergebnisse anzupassen, wird die Hauptquantenzahl definiert als:
Aus der ursprünglichen Gleichung ist die Energie quantisiert:
Die Lösung des assoziierten Laguerre-Polynoms ist:
ist die Energie des Grundzustands.
Bis hierher ist die gesamte Wellenfunktion des Wasserstoffatoms klar:
Der Grundzustand ist charakterisiert durch:
Seine Energie:
Zur Vereinfachung der Darstellung definieren wir die Feinstrukturkonstante :
Die Grundzustandsenergie ist:
Dies ist die Bindungsenergie des Wasserstoffatoms. Die Grundzustandswellenfunktion ist:
wobei der Bohrsche Radius ist:
Für andere Quantenzahlenkombinationen wird die Wellenfunktion mit dem assoziierten Laguerre-Polynom ausgedrückt:
Der normierte radiale Teil ist:
Durch Überprüfung des assoziierten Laguerre-Polynoms stellen wir fest, dass es Nullstellen hat. Daher verschwindet an Werten von , wo .
Außerdem führt zu Nullstellen von . Kombiniert man diese Ergebnisse, kann man Diagramme von Elektronenbahnen von Wasserstoffatomen zeichnen.
Für eine Hauptquantenzahl ist die Entartung des Energieniveaus (verursacht durch und ):
10.4 Drehimpuls
Erinnern wir uns an den Drehimpuls.
Ein erstaunliches Ergebnis ist, dass keine zwei Komponenten von kommutieren.
(Berechnung weggelassen, ergibt)
Dies bedeutet, dass sie keine gemeinsame Eigenbasis haben. In Experimenten können wir nur eine Komponente von präzise messen, während die anderen beiden unbestimmt bleiben. Komponenten können jedoch gleichzeitig mit gemessen werden.
Außerdem ist mit der Winkelquantenzahl verwandt. Analog zu harmonischen Oszillatoroperatoren für Energie kann der Drehimpuls durch Leiteroperatoren bearbeitet werden.
Die Kommutationsrelation ist offensichtlich:
Gegeben sei ein Eigenzustand von und :
Anwenden von auf den -Eigenzustand:
Anwenden von auf den -Eigenzustand:
Offensichtlich ist , also . Es gibt eine obere und eine untere Sprosse.
Wir überprüfen den Operator:
Dann kann ausgedrückt werden als:
Operieren auf der oberen Sprosse :
Ergibt eine Gleichung für :
Ähnlich für die untere Sprosse:
Wir wissen, dass . Der Wert von kann nur mit einem festen Schritt von variieren, im Bereich von bis . Für Zustände zwischen der oberen und unteren Sprosse, nehmen wir an, sie haben eine Quantenzahl , was bedeutet:
Für selbst:
Das Quadrat des Normierungsfaktors ist:
hat die Werte . Daher ist ein Operator zum Anheben oder Absenken des Drehimpulses in z-Richtung. Dieses Ergebnis stimmt mit der Lösung in 11.1 überein.
Anmerkung. Wir wissen, dass (außer für ). Das bedeutet, dass nicht exakt entlang der z-Achse zeigen kann. Unbestimmte - und -Komponenten existieren für immer.
10.5 Spin
Außer der Bahnbewegung führt auch die Eigendrehung zu zusätzlichem Drehimpuls. Die klassische Drehung von Elektronen ist jedoch nicht akzeptabel, da die Geschwindigkeit am Äquator die Lichtgeschwindigkeit überschreiten würde. Experimente haben jedoch den zusätzlichen Effekt nachgewiesen. Wir können nur davon ausgehen, dass der zusätzliche Effekt eine natürliche Eigenschaft ist, wie die Ladung der Elektronen.
Analog zum Bahndrehimpuls führen wir den Spin ein. Er erfüllt:
Und die Eigenwertgleichungen sind:
Was sich von unterscheidet, ist, dass nicht durch die räumliche Wellenfunktion begrenzt ist, sodass auch halbzahlige Werte annehmen kann.
Dieses Ergebnis wird durch das Stern-Gerlach-Experiment bewiesen. Ein Silberatomstrahl wird nach dem Durchgang durch ein inhomogenes Magnetfeld in 2 Strahlen aufgeteilt. Wenn eine ganze Zahl wäre, würde er in 3 Strahlen aufgeteilt.
Leiteroperatoren haben eine ähnliche Form:
Die Operation des Leiteroperators ist:
Das Quadrat des Normierungsfaktors ist:
Anmerkung. Wir haben jetzt 4 Quantenzahlen gefunden:
Hauptquantenzahl:
Bahndrehimpuls:
Magnetische Quantenzahl:
Spinquantenzahl:
Außer sind die anderen 3 Zahlen , , unabhängig vom spezifischen Potential, daher sind sie für alle Teilchen wohldefiniert. hängt von ab; in verschiedenen Systemen sind die Definitionen von unterschiedlich. Verschiedene Teilchen haben unterschiedliche -Werte, was spezifisch und unveränderlich ist, so wie Elektronen eine Ladung von tragen (niemand kann erklären, warum). Teilchen mit halbzahliger Spin werden Fermionen genannt, während Teilchen mit ganzzahligem Spin Bosonen genannt werden.
Spin -Systeme sind die wichtigsten Fermionensysteme. Elektronen, Protonen, Neutronen, Quarks und Leptonen sind als Fermionen bestätigt und haben Spin . Solche Teilchen haben zwei Eigenzustände des Spins (für -Werte):
Sie spannen einen 2-dimensionalen Raum auf. Zur Vereinfachung können wir die beiden Vektoren (Spinoren) definieren:
Und alle Zustände können definiert werden als:
Der Spin -Operator:
Und ein weiterer wichtiger Operator, .
Leiteroperatoren werden ebenfalls bestimmt durch:
Für :
Die Matrixergebnisse sind:
Nach der Definition und können auch und gefunden werden:
Der Gesamtspin kann als Kombination von 3 Komponenten betrachtet werden:
wobei die Pauli-Matrizen genannt wird, definiert als:
Nun zu einem beliebigen Zustand:
Wenn darauf operiert:
Es wird definitiv den -Zustand ergeben. Manchmal müssen wir messen. Um die Eigenwerte von zu finden:
Die entsprechenden Eigenzustände sind:
Jeder Zustand:
kann mit zerlegt werden:
Beispiel: Larmor-Präzession.
Aus der Elektrodynamik erzeugt ein geladenes Teilchen ein magnetisches Moment :
Mit dem Effekt des Spins:
wird als Landé-Faktor bezeichnet, ebenfalls eine natürliche Eigenschaft des Spins. Wenn das Teilchen in einem Magnetfeld entlang der -Achse platziert wird, ist der Hamilton-Operator, d.h. die Energie:
Unabhängig von der Bahnbewegung wird zu:
wobei .
Die Eigenzustände sind dieselben wie die von :
Die Eigenwerte sind:
Ein beliebiger Zustand mit Zeitentwicklung ( bei ):
Der Mittelwert von sollte sein:
Er ist zeitunabhängig, was bedeutet, dass während der Zeitevolution konstant bleibt, während:
Dieses Ergebnis zeigt, dass das Teilchen um die z-Achse präzediert. Eine solche Präzession wird Larmor-Präzession genannt. Die Frequenz ist offensichtlich:
Beispiel: Magnetische Resonanz.
Jedes Fermion mit Spin resoniert mit einem externen Magnetfeld. In einem Magnetfeld entlang der z-Achse, , haben Teilchen eine Resonanzfrequenz:
Nun wenden wir eine Störung entlang der Winkelrichtung auf den Hamilton-Operator an. Sei das externe Magnetfeld mit der Frequenz oszillierend:
Der Hamilton-Operator ist :
wobei .
Die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung (S.E.) ist:
Der Zustand oszilliert mit:
wobei die Entstimmung ist und die verallgemeinerte Rabi-Frequenz ist.
Die Lösung für einen beliebigen Anfangszustand ist:
Der einfachste Fall ist (d.h. ). Mit dieser Anfangsbedingung ist die Wahrscheinlichkeit des Übergangs zu :
Zu einer bestimmten Zeit erreicht ein Maximum, wenn das externe Feld mit derselben Frequenz wie die Larmor-Frequenz oszilliert, d.h. . Dies ist die Resonanzbedingung.
10.6 Addition von Drehimpulsen
In der Quantenmechanik können Drehimpulse addiert werden. Angenommen, zwei Drehimpulse und kommutieren miteinander. Der gesamte Drehimpuls ist:
Die z-Komponente ist additiv:
Das Quadrat des gesamten Drehimpulses ist:
In der Praxis wird die Addition durch Quantenzahlen durchgeführt. Der gemeinsame Zustand wird bezeichnet als:
Die entsprechenden Eigenwertgleichungen sind:
Wir konstruieren die Eigenbasis, die durch die Gesamtquantenzahlen und dargestellt wird. Dies ist die gemeinsame Eigenbasis von , , und .
Die beiden Zustände werden durch die Clebsch-Gordan-Koeffizienten korreliert:
Die beiden Darstellungen müssen gleich sein. Dann:
haben Maxima von bzw. dann:
Für die gesamte ist . Nun haben wir die obere Sprosse von gefunden:
Der Leiteroperator unter dieser Darstellung ist:
Wenden wir mehrmals auf an, konstruieren wir eine Reihe von Zuständen: .
Bei gibt es Zustände. Das entspricht dem Fall, dass parallel zu ist. Ähnlich, wenn invers parallel zu ist, ist .
Mittlerweile stellen die Leiteroperatoren sicher, dass nur mit einem Intervall von 1 geändert werden kann. Daher für den gesamten Drehimpuls :
Zum Beispiel. , dann:
Das System hat 4 ungekoppelte Eigenzustände.
Für :
Für :
Wir überprüfen auf :
Für :
Wir überprüfen auf :
Mit den 4 Basisvektoren kann als Matrix erweitert werden:
Seine Eigenwerte und Eigenvektoren sind:
Für (Singulett-Zustand):
Für (Triplett-Zustände):
Anmerkung. ist der Eigenzustand von .
ist der Eigenzustand von . Im obigen Beispiel:
Die ungekoppelte Basis (Eigenzustände von ):
Die gekoppelte Basis (Eigenzustände von ):
Im Wasserstoffatom ist der gesamte Drehimpuls . Da , haben wir:
Magnetisches Dipolmoment von :
Die Wechselwirkungsenergie ist .
Die Bahnbewegung erzeugt ein Magnetfeld von (die Ableitung erfordert Relativitätstheorie). Dann ist das Potential der Spin-Orbit-Kopplungsterm :
Der gesamte Hamilton-Operator ist:
Mit dem Effekt von gilt und , aber . Daher sind wohldefinierte Quantenzahlen anstelle von . Offensichtlich:
Weiterhin gilt mit :
Der Erwartungswert ist:
Der Erwartungswert des Spin-Orbit-Potentials ist:
wobei berechnet wird durch:
wobei der Bohrsche Radius ist. Dann:
Anmerkung. Es scheint einen Konflikt zu geben, dass nicht wohldefiniert ist, obwohl es im Endergebnis erscheint. ist jedoch eine feste Zahl, . Das "nicht wohldefiniert" bedeutet, dass nicht erhalten bleibt.
Tatsächlich, wenn die Wechselwirkung zwischen und ignoriert wird, sind immer noch wohldefiniert.
10.7 Elektromagnetische Wechselwirkung
Unter Berücksichtigung von EMF ist die Lagrange-Funktion:
Der verallgemeinerte Impuls ist:
Der Hamilton-Operator wird aus der Legendre-Transformation abgeleitet:
Nach dem Ehrenfest-Theorem:
Wir berechnen den Kommutator:
Einsetzen:
Dies führt zur klassischen Geschwindigkeitsrelation in der Quantenmechanik:
Der Hamilton-Operator kann geschrieben werden als:
Die Kraft in EMF ist gegeben durch:
Berechnen wir zunächst einige Terme:
Erinnern wir uns an die Definition des elektrischen Feldes . Die Terme kombinieren sich zu .
Nun für den Kommutator mit dem kinetischen Energie-Term verwenden wir :
Als nächstes benötigen wir :
Dies ergibt den Beitrag des kinetischen Terms:
Setzen wir alle diese Ergebnisse ein, ist die endgültige Ehrenfest-Gleichung für den Impuls:
Wenn und homogen sind:
Das ist die Lorentz-Kraft in der Quantenmechanik.
Die Quantenmechanik führt auch den Aharonov-Bohm-Effekt ein, was bedeutet, dass das Verhalten von Teilchen beeinflusst, während in der klassischen Mechanik nur Kräfte auf Teilchen ausübt.
Gegeben sei ein unendlich langer Solenoid mit Radius . Ein Elektron ist auf einem Kreis mit Radius eingeschränkt, dessen Zentrum mit dem des Solenoids übereinstimmt. Der Solenoid trägt einen konstanten Strom, der ein Magnetfeld im Inneren erzeugt, während außerhalb Null bleibt. außerhalb ist jedoch nicht Null.
Außerhalb des Solenoids () gilt . In Zylinderkoordinaten ist die -Komponente von :
Da unabhängig von ist und , vereinfacht sich dies zu:
Innerhalb des Solenoids () gilt . Angenommen (homogen):
muss bei stetig sein:
Der Hamilton-Operator außerhalb des Solenoids () ist:
Die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung (S.E.) für ist:
Lösen Sie die S.E., beachten Sie, dass die Wellenfunktion die periodische Randbedingung erfüllen muss:
Das Energieniveau ist quantisiert:
Das Energieniveau hängt vom Fluss im Solenoid ab. Dies ist ein rein quantenmechanischer Effekt, der die physikalische Existenz von beweist.
10.8 Wasserstoffähnliche Atome
Ein Elektron wird durch einen Kern mit der Ladung eingeschlossen, ein solches Atom wird als wasserstoffähnlich bezeichnet.
Wenn , ist es einfach ein Wasserstoffatom, wir haben:
Wenn ,
wird das Potential -mal größer (Betrag) als beim Wasserstoff.
Diese Parameter werden:
Wenn zunimmt, tritt -Zerfall auf:
Ein Neutron zerfällt in ein Proton, ein Elektron und ein Antineutrino.
Nach dem -Zerfall erhöht sich die Kernladung aufgrund des erzeugten Protons um 1.
Für ein Elektron in einer 1s-Bahn können wir die Wellenfunktionen schreiben.
Vor dem Zerfall:
Nach dem Zerfall:
Wahrscheinlichkeit, im 1s-Zustand zu bleiben:
Für großes gilt . Offensichtlich, je größer die Kernladung ist,
desto wahrscheinlicher ist es, dass das Elektron auf der 1s-Bahn bleibt.
Ein weiterer Typ von wasserstoffähnlichen Atomen ist das myonische Wasserstoffatom (nach Modifikation des Kerns wird das Elektron modifiziert). Myonen sind fast gleich wie Elektronen, außer dass ihre Masse etwa 200-mal größer ist als die von Elektronen.
Zurück zur ursprünglichen Gleichung,
wird die Grundenergie:
Bohrscher Radius:
Ein System, das aus einem Elektron und seinem Antiteilchen, einem
Positron, besteht, die zu einem exotischen Atom gebunden sind.
Für Zweikörpersysteme
führen wir die reduzierte Masse ein:
Dieses System ist äquivalent zu einem Teilchen mit der Masse , das sich um ein ideales zentrales Potentialfeld dreht.
Mit dem Wasserstoff-Energieniveau:
Ersetzen Sie durch :
10.9 Unendlicher Quadrat-Topf
Ein Elektron ist in einer 3D-Box eingeschlossen, berechnen Sie die Grundzustandsenergie und die Energie des 1. angeregten Zustands.
3D Unendlicher Quadrat-Topf
Die 3D TISE ergibt:
Unter kartesischen Koordinaten:
Diese Gleichung kann durch Trennung der Variablen gelöst werden:
Und:
Die Randbedingung zeigt:
Lösen der Wellenfunktion:
Gesamte Wellenfunktion:
Die Lösung ist ähnlich der 1D-unendlichen Quadratwand. Das Energieniveau:
Der Grundzustand sollte sein.
10.10 Endlicher 3D-Sphärischer Potentialtopf
Die radiale TISE ergibt:
wenn (Grundzustand), bei :
Lösen:
Die Randbedingung ergibt , dann ist .
Bei :
Lösen:
Randbedingung , ergibt , daher:
Stetigkeit ergibt:
Gemäß der folgenden Abbildung existieren gebundene Zustände nur, wenn:
ergibt:
11. Identische Teilchen
11.1 Bosonen und Fermionen
Fundamentale Teilchen sind normalerweise ununterscheidbar. Man kann nicht sagen, ob das Elektron in einem Wasserstoffatom durch ein anderes Elektron ersetzt wurde, es ist kein Wasserstoffatom mehr.
Betrachten wir ein Zweiteilchensystem,
Definiere den Austauschoperator.
Offensichtlich,
Seine Eigenwerte sind daher . Die beiden Eigenwerte entsprechen zwei Arten von Teilchen.
Wenn
Solche Teilchen werden Bosonen genannt.
Wenn
Solche Teilchen werden Fermionen genannt.
Um die Wellenfunktion der beiden Teilchen zu entkoppeln und die Symmetrie explizit darzustellen, weisen wir die gemeinsame Wellenfunktion normalerweise neu zu:
Diese Form ist gleich der ursprünglichen Trennung .
Die Energie ist immer noch
Aufgrund der Antisymmetrie
haben Fermionen eine exotische Eigenschaft.
Betrachten Sie ein Heliumatom mit zwei Elektronen auf 1s.
Die Wellenfunktion ist
Sei ,
das erstaunliche Ergebnis wird sein
was bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, zwei Fermionen am selben Ort zu finden, exakt 0 ist.
Dies ist das Pauli-Ausschlussprinzip.
Experimente haben gezeigt, dass Bosonen ganzzahligen Spin und Fermionen halbzahligen Spin haben.
11.2 Zweiteilchensysteme
Die Symmetrie der Wellenfunktion führt zu Kräften, was durch die Inspektion von verdeutlicht werden kann.
Für unterscheidbare Teilchen
Dann
Für identische Teilchen sollte die Wellenfunktion äquivalent sein zu
Dann sind diese Terme
wobei
Dann ergibt die identische Bedingung einen zusätzlichen Term
Der zusätzliche Term zeigt an, dass Bosonen dazu neigen, näher beieinander zu sein, und Fermionen weiter voneinander entfernt.
Der Term existiert nur, wenn und tatsächlich überlappen. Makroskopisch verhält sich der neue Term wie eine Kraft.
Experimente haben gezeigt, dass es 2 Elektronen in der 1S-Bahn des Heliums gibt, was gegen das Pauli-Ausschlussprinzip zu verstoßen scheint. Um das Problem zu lösen, führen wir den Spin ein. Die gesamte Wellenfunktion eines Elektrons ist
Die gemeinsame Wellenfunktion ist
Die gemeinsame Wellenfunktion muss antisymmetrisch sein, d.h. eine der Wellenfunktionen, räumlich oder Spin, ist symmetrisch und die andere antisymmetrisch. Niemand kümmert sich darum, welche auf der Erde symmetrisch ist.
Nehmen wir als Beispiel Helium (). Sein Hamiltonoperator
Wir ignorieren den weniger wichtigen, aber problematischsten Wechselwirkungsterm, dann trennt sich die Gleichung.
Dann ist die gesamte räumliche Wellenfunktion einfach das Produkt zweier Wasserstoffergebnisse.
mit dem halben Bohrschen Radius und der 4-fachen Bohrschen Energie. Die Gesamtenergie
Der Grundzustand ist
Die Gesamtwellenfunktion von Helium wird ebenfalls verglichen durch
Wir haben 2 Konfigurationen, um die Antisymmetrie zu erfüllen. Wenn antisymmetrisch ist, wird diese Konfiguration Parahelium (Singulett) genannt, andernfalls werden , , Orthohelium (Triplett) genannt.
Für Atome mit mehr Elektronen, da Elektronen identische Fermionen sind, unterliegen sie dem Pauli-Ausschlussprinzip. Nur zwei Elektronen können eine Orbitalposition aufgrund der Variation des Spins einnehmen. Ähnlich für andere Quantenzahlen . Schließlich wird eine Position mit festem als Schale bezeichnet und eine Schale kann höchstens Elektronen tragen.
Betrachten wir nun nur die äußersten Elektronen. Da der gesamte Bahndrehimpuls und Spinimpuls und der inneren (Schichten) nur aus der äußersten Schicht bestehen. Darüber hinaus kann der Gesamtdrehimpuls Werte annehmen
Die 3 gesamten Quantenzahlen bilden eine Atomkonfiguration mit festem
Die Energie dieser Konfigurationen wird durch Hunds Regel vorhergesagt:
Zustände mit dem höchsten Gesamtdrehimpuls haben die niedrigste Energie.
Für einen gegebenen Spin haben Zustände mit dem höchsten gesamten Bahndrehimpuls die niedrigste Energie.
Wenn nicht mehr als halb gefüllt ist, hat das niedrigste Energieniveau , andernfalls hat die niedrigste Energie.
11.3 Freies Elektronengas
Festkörper, insbesondere Metalle, bestehen aus (nahezu) festen positiven Atomkernen und einem homogenen Elektronengas. Andere Beispiele sind ebenfalls üblich, wie Neutronensterne, die aus freiem Neutronengas, einem weiteren Fermigas, bestehen.
Angenommen, das Objekt ist ein rechteckiger Festkörper mit den Abmessungen . Das Elektronengas erfährt das Potenzial
Die Schrödinger-Gleichung kann durch Trennung der Variablen gelöst werden.
Randbedingung anwenden
Ähnlich
Gesamt
Und die erlaubten Energien sind
wobei
Wenden wir uns dem -Raum zu. Aus der obigen Lösung besetzt ein Elektron eine ganzzahlige Koordinaten . Angenommen, es gibt Elektronen (normalerweise groß, in der Größenordnung von ). Aufgrund der Eigenschaft von Fermionen können nur 2 Elektronen denselben besetzen. Da Teilchen dazu neigen, Zustände mit niedrigerer Energie zuerst zu besetzen, füllen große Zahlen von Elektronen ein Oktant der -Kugel, deren Radius durch die Tatsache bestimmt wird, dass jedes Elektronenpaar ein Volumen von benötigt. (Jeder Punkt im -Raum besetzt ein Volumen von , da diskrete Punkte sind. Dies ist eine durchschnittliche Äquivalenz.)
Somit
wobei die Elektronendichte ist. Die Kugeloberfläche wird Fermi-Oberfläche genannt, Fermi-Radius. Die Schwellenenergie, bestimmt durch
wird Fermi-Energie genannt.
Die Gesamtenergie des gesamten Fermigases ist
Diese Gesamtenergie ist analog zur inneren thermischen Energie und zeigt sich als Druck auf die Wand.
Dieser Druck wird hauptsächlich durch das Pauli-Ausschlussprinzip verursacht und heißt Entartungsdruck. Manche Leute sind verwirrt über das Verschwinden der Coulomb-Kraft. Wir ignorieren sie, da sie durch die festen Atomkerne ungefähr abgeschirmt werden. Unter großer können diese Atomkerne als ein homogenes, positives Hintergrund betrachtet werden. Dieser Hintergrund schirmt negative Ladungen sehr gut ab.
11.4 Bandstruktur
Nun verbessern wir das Elektronengas (nicht alle Fermionen), indem wir die positiven Atomkerne einbeziehen. Mit diesen Atomkernen ist das Potenzial im Inneren des Festkörpers nicht mehr 0, sondern wird zu einem Dirac-Kamm.
Periodisches Delta-Potenzial im Festkörper
Für ein solches periodisches Potenzial besagt der Blochsche Satz, dass die Lösung der Schrödinger-Gleichung
erfüllt
wobei eine Konstante ist, die unabhängig von ist. Das bedeutet
Für einen Festkörper mit einer sehr großen Anzahl von Atomkernen und Elektronen können die Ränder, an denen die Periodizität gestört ist, die Eigenschaften nicht wesentlich beeinflussen. Dies legt nahe, dass die Korrektur des Blochschen Satzes erzwingen
wird unter in der Größenordnung von nicht zu viel Wirkung haben. Daraus folgt
Schließlich ist die Konstante gegeben durch
Nun ist der Festkörper vollständig periodisch. Mit dem Potenzial
können wir nur eine Zelle lösen und anwenden, um die gesamte Wellenfunktion zu finden.
Im Bereich .
Die allgemeine Lösung ist
Die Wellenfunktion in der linken Zelle
Bei ergibt die Stetigkeit der Wellenfunktion
Die Diskontinuität der Ableitung ergibt
Die beiden Gleichungen werden vereinfacht zu
Definiere , , dann die rechte Seite
Beachten Sie, dass außerhalb des Bereichs oszilliert, sodass für , das erfüllt, keine Lösung existieren muss. Diese Regionen werden verbotene Lücken genannt. Die Energien werden verbotene Energien genannt. Erlaubte Regionen, für die gilt, werden Bänder genannt. Innerhalb eines gegebenen Bandes sind alle Energien erlaubt, da und sehr groß ist.
Periodisches Delta-Potenzial im Festkörper
Die obigen Ergebnisse beziehen sich auf ein Elektron. Wenn Atome im Potenzial sind, jedes mit Elektronen, können nur zwei davon ein Band besetzen, da die Bandstruktur global ist. Da und eine riesige Zahl ist, entspricht jedes einem eindeutigen Wert , der ein Energieniveau bestimmt. Da gerade ist, während für definiert ist, ist die erste Bandregion für nicht , sondern
Diese Region wird als erstes Band bezeichnet. Wir können ähnlich andere Bänder definieren. Jedes ist ein Energieniveau, sodass ein Band höchstens Elektronen enthält.
Wenn , ist das erste Band halb gefüllt, wenn vollständig gefüllt; , das zweite Band halb gefüllt ... Wenn also das oberste Band nur teilweise gefüllt ist, ist nur eine sehr geringe Energie erforderlich, um ein Elektron zum nächsten Niveau anzuregen. Makroskopisch verhält es sich wie ein Leiter. Wenn andererseits das oberste Band vollständig gefüllt ist, kostet es zu viel Energie, die verbotene Lücke zu überwinden, und es verhält sich wie ein Isolator. Wenn die Lücke eher eng ist, ist die Anregung nicht so einfach wie bei Leitern, aber auch nicht so schwierig wie bei Isolatoren; solche Materialien werden Halbleiter genannt.
Im freien Elektronengas sollten alle Festkörper Metalle sein.
12. Symmetrien und Erhaltungsgrößen
Symmetrie bedeutet, dass eine Transformation das System unverändert lässt. Zum Beispiel bleibt ein Rechteck nach einer Drehung um 90 Grad unverändert. Wir sagen, es hat eine diskrete Rotationssymmetrie. Offensichtlich hat ein Kreis eine kontinuierliche Rotationssymmetrie.
Bevor wir fortfahren, müssen wir einige Operatoren im Raum definieren.
Translationsoperator
Dieser Operator verschiebt die Wellenfunktion um die Distanz nach rechts.
Paritätsoperator
Dieser Operator ändert das Vorzeichen dieser drei Koordinaten.
Rotationsoperator
Dieser Operator dreht die Wellenfunktion gegen den Uhrzeigersinn um entlang der -Achse.
12.1 Transformationen im Raum
Ein Translationsoperator kann entwickelt werden:
Daher
Wir sagen, ist ein Erzeuger von .
Offensichtlich ist die Inverse von sie selbst, da die Translation invertierbar ist, und
Somit ist unitär.
Die Translation von Operatoren ist definiert als der Operator, der denselben Erwartungswert im unverschobenen liefert wie der ursprüngliche Operator im verschobenen
Um dies zu verstehen, können wir sagen, dass das Verschieben der Wellenfunktion (System) nach rechts äquivalent ist zum Verschieben des Operators (Messpunkt) nach links. Es mag verwirrend sein, warum dem Verschieben nach links entspricht. Betrachten wir diesen Operator, sei
Nun ist es klarer.
Ein Beispiel ist der Impuls . Da
Er bleibt unverändert, da der Impuls davon unabhängig ist, wo der ursprüngliche Punkt liegt, und nur von den Differenzen abhängt. Diese Eigenschaft wird als Translationsinvarianz bezeichnet.
Nun kennen wir das Verhalten beliebiger Operatoren unter Translation
Zum Beispiel der Hamiltonoperator
Seine Translation ist
Wenn , wissen wir
Das Potenzial sollte periodisch (diskrete Translationale Symmetrie) oder konstant (kontinuierliche Translationale Symmetrie) sein.
Bei periodischem Potenzial haben wir den Blochschen Satz eingeführt. Wir beweisen ihn erneut, genauer gesagt.
wobei , da unitär ist. Wir können sagen . Wir schreiben aus praktischen Gründen in der Festkörperphysik. Dann
Erleuchtender ist es, es in einer neuen Form zu schreiben
wobei . ist eine Wanderwelle. Man kann eine Form aus einer anderen Form ableiten.
Bei konstantem Potenzial ist es nützlich, eine infinitesimale Translation zu betrachten.
Kontinuierliche Translation impliziert Kommutation.
Gemäß dem Ehrenfest-Theorem.
ergibt Impulserhaltung.
12.2 Erhaltungsgesetze
Erhaltung in der QM bedeutet, dass der Erwartungswert und die Wahrscheinlichkeit, einen Eigenwert zu erhalten, zeitunabhängig sind, für einen Operator . Auch gemäß dem Ehrenfest-Theorem
Der Operator hängt nicht explizit von der Zeit ab. Dann ist , wenn ; Andererseits muss die Wahrscheinlichkeit, zu erhalten, konstant sein. Wenn beides erfüllt ist, können wir sagen, dass erhalten bleibt.
Wir beweisen es nun präzise. Da und kommutieren, haben sie eine gemeinsame Eigenbasis. Sei.
wobei . Die Wahrscheinlichkeit, zu messen, ist
was eindeutig zeitunabhängig ist.
12.3 Parität
In eindimensionalen Fällen implementiert der Paritätsoperator die Inversion.
Offensichtlich
Und
Somit
Seine Eigenzustände sind gerade oder ungerade, mit den Eigenwerten 1 bzw. -1.
Operatoren, die unter räumlicher Inversion transformieren, sind
Position und Impuls sind beide ungerade
Dann transformiert sich jeder Operator
Wenn
dann sagen wir, hat Inversionssymmetrie. Dies zeigt an
Gemäß dem Ehrenfest-Theorem, wenn Inversionssymmetrie hat,
Wenn ein Hamiltonoperator ist, bedeutet dies, dass die Parität erhalten bleibt, wenn sich ein Teilchen in einem symmetrischen Potenzial bewegt. Eine ungerade Wellenfunktion bleibt zu jeder Zeit ungerade und ebenso eine gerade.
In 3D-Räumen
Offensichtlich, in einem zentralen Potenzial
weil
Paritätsauswahlregeln geben an, wann ein Matrixelement aufgrund der Symmetrie Null ist. Wir illustrieren dies anhand eines Beispiels für ein Dipol
Die Parität,
Es ist daher ungerade. Betrachten wir nun die Matrixelemente zwischen zwei Eigenzuständen in einem zentralen Potenzial.
Wir sehen sofort, dass
Dies wird als Laporte-Regel bezeichnet und besagt, dass das Matrixelement zwischen Eigenzuständen mit gleicher Parität verschwindet.
Diese Regel kann auf jeden ungeraden Operator angewendet werden.
Wenn gerade ist, d.h. , dann
Das Element verschwindet, wenn ungerade ist.
Vektoren und Skalare werden als echte oder pseudobasierte auf ihren Kommutationsrelationen mit der Parität klassifiziert.
* {% raw %}, ist ein echter Vektor. Er ist ungerade unter Paritätstransformation.{% endraw %}
{% raw %}, ist ein Pseudovektor. Er ist gerade unter Paritätstransformation. Die Tangentialkomponente bleibt vor und nach der Spiegelung konstant.{% endraw %}
{% raw %}, ist ein echter Skalar.{% endraw %}
{% raw %}, ist ein Pseudoskalar.{% endraw %}
12.4 Rotationssymmetrie
{% raw %}
Der Rotationsoperator
Ähnlich wie beim Translationsoperator,
ergibt
Dasselbe, ist der Erzeuger von Rotationen um die -Achse.
Offensichtlich können Positionsvektoren, die durch den Rotationsoperator transformiert werden, als Matrixprodukt betrachtet werden.
In 3D-Fällen beziehen sich Rotationen auf Richtungen.
wobei der Normalenvektor in dieser Richtung ist. Dieser Operator rotiert die Wellenfunktion entlang der Richtung .
Rotation ist ein Vektoroperator. Jeder Vektor wird auf die gleiche Weise transformiert wie
Zurück zur obigen Matrix. Wenn wir eine infinitesimale Rotation durchführen.
Angewendet auf den Vektor
Schreiben wir es in einer kompakteren Form, indem wir es mit der reduzierten infinitesimalen Matrix vergleichen
Wir erhalten
Für ein Teilchen der Masse , das sich in einem Potenzial bewegt, ist der Hamiltonoperator
ist rotationsinvariant, wenn zentral ist (). In diesem Fall
Für infinitesimale Rotation
was bedeutet
Nach dem Ehrenfest-Theorem
Somit führt kontinuierliche Symmetrie zur Erhaltung des Drehimpulses. zeigt, dass auch mit kommutiert. , und bilden eine vollständige Menge kompatibler Observablen für die gebundenen Zustände eines zentralen Potenzials. Eine solche Menge von Observablen hat eine gemeinsame orthonormale Eigenbasis und kann den Zustand eines Quantensystems eindeutig bestimmen, ohne Entartung.
{% endraw %}
Wie die Parität hat die Rotation ihre eigene Auswahlregel. Diese Regel wird auch Wigner-Eckart-Theorem genannt.
{% raw %} Für skalare Operatoren kann die Kommutation eines skalaren Operators mit dem Drehimpuls geschrieben werden als
Dann erfüllt der Operator Rotationsinvarianz. Nehmen wir nun den Zustand , der
Nehmen wir das Matrixelement
Daher,
Die Heb- und Senkoperatoren können mehr Informationen liefern.
Wenn und , sind die Koeffizienten gleich und heben sich auf. Dann
Zusammenfassend,
Der Term wird als reduziertes Matrixelement bezeichnet. Für skalare Matrizen sind es nur diagonale Elemente, dieser Koeffizient zeigt die physikalische Information an.
{% endraw %}
{% raw %}
Dann gehen wir zu Vektoren über. Wir beginnen mit der Definition von Heb- und Senkoperatoren.
Wir erhalten Kommutationsrelationen.
Wir wenden dieselbe Operation an, um Matrixelemente zu finden.
Wir können zusammenfassen
Bei Bedarf kann der Ausdruck in und umgewandelt werden
Die verbleibenden Kommutationen führen zu Clebsch-Gordan-Koeffizienten.
Zusammenfassend, wenn , , gibt das erste
Das zweite, mit Anwendung von
ergibt
Das dritte
Im Allgemeinen, mit , erhalten wir eine Rekursionsrelation.
Clebsch-Gordan-Koeffizienten folgen derselben Rekursion. Daher können wir den CG-Koeffizienten einführen.
wobei
Der Kern, warum CG-Koeffizienten hier erscheinen, ist, dass Operatoren auch Drehimpuls tragen. Ein skalarer Operator hat und wird durch Rotation nicht verändert. Ein Vektoroperator hat und verhält sich wie der Drehimpuls. Die beiden Beziehungen zwischen Matrixelementen und ihren reduzierten Elementen werden als Wigner-Eckart-Theorem bezeichnet.
{% endraw %}
12.5 Entartung
{% raw %}
Symmetrie führt zu Entartung. Eine Symmetrie impliziert
Wenn wir einen stationären Zustand haben, dann ist ein stationärer Zustand mit derselben Energie. Der Beweis ist trivial.
Nicht jede Symmetrie führt zu Entartung, da die beiden Zustände und gleich sein könnten. Wenn , erzeugt die Operation keinen neuen Zustand, dann tritt keine Entartung auf. Tatsächlich führt nur ein einziger Symmetrieoperator nicht zu Entartung, da wir immer simultane Eigenzustände von und finden können und diese Zustände durch in sich selbst transformiert werden. Wenn es mehrere kommutierende Operatoren gibt, ist es derselbe Fall.
Entartung tritt oft auf, wenn es zwei nicht-kommutierende Operatoren gibt, die aber beide zu kommutieren. Betrachten wir zuerst einen Zustand .
Da , dann
Da , kann keine vollständige Menge simultaner Eigenzustände aller drei Operatoren existieren. Dann muss es einige Zustände geben, für die von verschieden ist und neue physikalische Zustände erzeugt. Aber die Kommutation von und garantiert, dass und dieselbe Energie teilen. Somit garantiert die Anwesenheit mehrerer nicht-kommutierender Operatoren eine Entartung des Energiespektrums.
{% endraw %}
12.6 Zeitliche Translation
{% raw %}
In den vorherigen Abschnitten haben wir den Zeitentwicklungsoperator aus der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung abgeleitet.
Wie andere Operatoren ist die Zeitentwicklung eines Operators
Der transformierte Operator wird als Heisenberg-Bild bezeichnet. Zum Beispiel wird der Hamiltonoperator geschrieben als
Eine infinitesimale Zeitübersetzung
Angewendet auf das Heisenberg-Bild ist die Position
Wir haben lange Zeit im Schrödinger-Bild gearbeitet, bei dem die Zeitübersetzung auf den Zustand angewendet wird
Aber dies ist offensichtlich äquivalent zum Heisenberg-Bild
Wenn der Zeitentwicklungsoperator unabhängig vom Ursprung der Zeit ist, d.h.
für eine beliebige Wahl von , dann sagen wir, das System hat Zeitübersetzungsinvarianz. Das bedeutet, wenn sich das System zu beiden Zeiten und in befindet, wird es sich nach demselben Zeitintervall in transformieren. Dies bedeutet auch
Offensichtlich
Gemäß dem Ehrenfest-Theorem
Daher ist die Energieerhaltung eine Folge der Zeitübersetzungsinvarianz.
{% endraw %}
13. Störungstheorie
13.1 Nicht-entartete Störungstheorie
{% raw %}
Angenommen, wir haben die Schrödinger-Gleichung für ein exakt gegebenes Potenzial gelöst.
erhalten einer vollständigen Menge von orthonormalen Eigenbasen
Nun wird das Potenzial leicht gestört, was eine neue Menge von Eigenbasen erzeugt.
In den meisten Fällen können wir die neue Schrödinger-Gleichung nicht exakt lösen. Die Störungstheorie wird angewendet. Wir schreiben den neuen Hamiltonoperator in 2 Terme.
wobei der Index ungestört bedeutet. ist die Störung. Die Wellenfunktion und die Energie werden beide korrigiert, indem sie nach entwickelt werden.
Die kleine Störung führt zu unendlich vielen Korrekturordnungen. Zur Vereinfachung absorbieren wir die Fakultäten.
Hier sind die Korrektur der -ten Ordnung. Einsetzen in .
Sammeln von Koeffizienten gleicher Potenzen von
Entsprechende Koeffizienten verschiedener Ordnungen ergeben
Der Parameter ist tatsächlich ein mathematischer Trick. Er verfolgt nur verschiedene Ordnungen. Nach aller Analyse lassen wir einfach und es konvergiert zum physikalischen System.
{% endraw %}
{% raw %}
Konzentrieren wir uns nun auf die erste Ordnung
Nehmen Sie das innere Produkt mit
Da hermitesch ist
Dann
Wir können sagen, dass die Korrektur erster Ordnung zur Energie die Erwartung der Störung im ungestörten Zustand ist. Für die Wellenfunktion:
Schreiben Sie es um
Da die ungestörten Wellenfunktionen eine vollständige Basis bilden, kann durch zerlegt werden
Der Grund, warum nicht enthalten ist, ist, dass wir auch nach der Störung eine Normierung erwarten, d.h.
Um die Normierung zu erfüllen, fordern wir
Dies erfordert, dass die Linearkombination den Term nicht enthält. Setzen Sie ein
Nehmen Sie das innere Produkt mit
Wenn , erhalten wir .
Wenn :
Dann
Also
Der Nenner ist sicher, wenn das Energiespektrum nicht-entartet ist.
{% endraw %}
{% raw %}
Wenn wir wie zuvor fortfahren, die zweite Ordnung:
Wieder
Dann
Aber , dann
Die Methode zur Ermittlung von ist dieselbe.
{% endraw %}
13.2 Entartete Störungstheorie
{% raw %}
Wenn im System Entartung existiert — und teilen dieselbe Energie, dann schlägt die gewöhnliche Störung fehl. Angenommen
Dann jede Kombination
erfüllt
Typischerweise verdirbt die Störung die Entartung. spaltet sich in zwei auf, wenn von 0 auf 1 ansteigt. Wenn wir die Störung ausschalten (), kehren die aufgespaltenen Zustände zur Entartung zurück. Der obere Zustand kollabiert zu einer Kombination von und und der untere Zustand kollabiert zu einem anderen orthogonalen Zustand. Aber vor der Berechnung wissen wir die Kombination nicht genau. Tatsächlich sind die kollabierten Zustände definiert als
Wir nennen es "gute Zustände". Nun lösen wir die Schrödinger-Gleichung.
mit
Einsetzen
Die ersten Terme heben sich auf.
Nehmen Sie das innere Produkt mit
Einsetzen des Gewichts []
Dann
Ähnlich für
Die beiden Gleichungen ergeben lineare Gleichungen:
Wir definieren
Wir können nun sagen, dass die Gewichte der "guten Zustände" die Eigenvektoren der Matrix sind. Die Gleichung kann in kompakter Form geschrieben werden:
Diese Gleichung wird als säkulare Gleichung bezeichnet. Lösen Sie sie
Die beiden Wurzeln entsprechen den beiden gestörten Energien. Wenn die Störung ausgeschaltet wird, kehren die Zustände zu ihrem entsprechenden Eigenvektor zurück. Wenn wir zu den guten Zuständen machen wollen, sollten wir die Eigenvektoren zu und machen. Dies geschieht, wenn
{% endraw %}
Somit, wenn wir die “guten Zustände” als Basis des entarteten Unterraums auswählen, wird der Störungs-Hamiltonoperator diagonal, was die säkulare Gleichung vereinfacht. Außerdem wird unter Störung die Entartung aufgehoben, und die guten Zustände können als zwei nicht-entartete Zustände betrachtet werden. Dann können in den folgenden Schritten die nicht-entartete Störungstheorie angewendet werden. Wenn jedoch die Entartung in einigen Sonderfällen nicht aufgehoben wird, müssen wir die säkulare Gleichung im kleineren entarteten Unterraum anwenden und zweite Ordnung gute Zustände finden.
Um die guten Zustände zu bestimmen, haben wir einen Satz.
Satz: {% raw %}Sei ein hermitescher Operator. Wenn und , und wenn
Dann sind und "gute Zustände" in der Störung.
{% endraw %}
Beweis. {% raw %}. Da und kommutieren, existiert ein simultaner Eigenzustand , wobei
Wir können sagen, dass alle Zustände im entarteten Unterraum sind.
Nehmen Sie das innere Produkt für
Somit
Ähnlich
Nehmen Sie den Grenzwert
Wir haben . Das bedeutet, dass im entarteten Unterraum liegt, der von und aufgespannt wird.
{% endraw %}
In dieser Menge von Zuständen sind nur zwei erlaubt:
{% raw %}{% endraw %}
{% raw %}{% endraw %}
{% raw %}
Nun können wir sagen, dass bereits die guten Zustände sind. In dem obigen Beweis kümmern wir uns nur um die Zustände, die bei Abschalten der Störung () zur entarteten Energie konvergieren.
Wenn höhere Entartung auftritt, erhöht sich die Matrix in ihrer Ordnung.
Und die guten Zustände werden
{% endraw %}
13.3 Die Feinstruktur des Wasserstoffs
{% raw %}
Die Feinstruktur ist präziser als das Bohrsche Modell und wird hauptsächlich durch relativistische Korrekturen und Spin-Bahn-Kopplung verursacht. Der klassische Hamiltonoperator ist gegeben durch
Zuerst konzentrieren wir uns auf die Relativitätstheorie. In der Relativitätstheorie ist der erste Term des Hamiltonoperators (kinetisch)
Im klassischen Limes entwickeln wir ihn:
Die relativistische Störung niedrigster Ordnung ist
Die Störungsenergie erster Ordnung ist
Die Schrödinger-Gleichung für ungestörte Zustände besagt:
Dann
wobei die Bohrsche Energie ist, die die ungestörte Energie angibt. Sei der Bohrsche Radius, wenden Sie an, um den Erwartungswert zu berechnen
Dann, eingesetzt in und mit eliminiert
Obwohl das Wasserstoffatom stark entartet ist, ist die Störung sphärisch symmetrisch und daher
Und ist ebenfalls sphärisch, dann
Dann gemäß dem Satz im letzten Abschnitt sind gute Zustände, wir können die nicht-entartete Störungstheorie direkt anwenden. Die Energiekorrektur ist direkt gegeben durch
{% endraw %}
{% raw %}
Andererseits führt die Spin-Bahn-Kopplung zu einem Störungs-Hamiltonoperator
wobei das Magnetfeld vom Elektron erzeugt wird.
Das magnetische Dipolmoment wird durch den Spin verursacht.
Dann
Aber die Thomas-Präzession wirft eine zusätzliche, nicht vernachlässigbare Korrektur ein. Das Elektron beschleunigt und sein statischer Bezugsrahmen ist nicht-inertial. Die Thomas-Präzession besagt, dass seine Winkelgeschwindigkeit ist
Die Coulomb-Kraft liefert die Beschleunigung
Einsetzen
Die Korrektur
Dann ist die Störungsenergie
Bei Spin-Bahn-Kopplung ist , . Jedoch kommutiert , , und kommutiert auch mit dem Gesamtdrehimpuls
Somit
Für Elektronen
und wir schließen
Beachten Sie, dass und in derselben Ordnung sind, sodass wir sie addieren können, um die gesamte Korrekturenergie zu erhalten. Mit , . Wenn
Wenn Sie setzen, erhalten Sie überraschenderweise dasselbe Ergebnis. Daher
Die Korrektur bricht die Entartung von . Unterschiedliche werden die Energie mit unterschiedlichen Korrekturwerten stören.
{% endraw %}
13.4 Zeeman-Effekt
{% raw %}
Wenn ein Atom in ein externes Magnetfeld gebracht wird, ist der Störungs-Hamiltonoperator
{% endraw %}
{% raw %}
Wenn , dominiert die Feinstruktur. Wir behandeln als ungestört und als Störung. Die ungestörten Zustände sind und die ungestörten Energien sind .
Angenommen, ist entlang der -Achse ausgerichtet, . Dann
Da eine Konstante ist. Im zeitlichen Mittel ist eine Projektion von
Somit
Der Koeffizient wird Landé-Faktor genannt
Die gestörte Energie ist somit
wobei
das Bohrsche Magneton genannt wird. In einem schwachen externen Magnetfeld spaltet sich das Energieniveau auf, der sogenannte Zeeman-Effekt.
{% endraw %}
{% raw %}
Wenn , dominiert der Zeeman-Effekt, und die Störung wird , während die ungestörte ist.
Die ungestörten Energien werden mit berechnet
Wir verwenden hier und , da der ungestörte Hamiltonoperator durch und definiert ist und keine Spin-Bahn-Kopplung enthalten ist. Wir haben Glück, dass gute Zustände sind, da sowohl mit als auch mit kommutiert, weil , und in dominiert. In der Störungstheorie erster Ordnung,
Die relativistischen Terme sind dieselben. Für den Spin-Bahn-Term,
Dann
Dies wird als Paschen-Back-Effekt bezeichnet.
{% endraw %}
13.5 Zeitabhängige Störung
{% raw %}
Betrachten Sie zwei Zustände
und der Anfangszustand ist
Der Endzustand nach der Zeit
Wenden Sie nun eine kleine, zeitabhängige Störung an, der Zustand sollte ebenfalls zeitabhängig sein
wobei die Störung in und absorbiert ist. Angenommen, bei ist , und nach einiger Zeit ist , , dann sagen wir, es tritt ein Übergang von nach auf.
Um den Übergang zu untersuchen, setzen wir die Störung in die Schrödinger-Gleichung ein
Setzen Sie ein, erhalten wir
Ordnen Sie es neu an, nehmen Sie das innere Produkt mit
ergibt eine Differentialgleichung
Ähnlich für
Definiere die Frequenz
und neue Koeffizienten
Dann
Ähnlich
Wenn es keine Störung gibt, haben wir und , was die Bedingung 0. Ordnung ist. Mit Störung, in erster Ordnung sollten wir den Effekt von und berücksichtigen.
Dann
Nun setzen wir und in die rechte Seite der Gleichungen ein, um die Korrektur zweiter Ordnung zu erhalten.
Diese Gleichungen ergeben die Korrektur zweiter Ordnung.
{% endraw %}
Referenzen:
[1] P. A. M. Dirac, The Principles of Quantum Mechanics, 4. Aufl. Ely House, London: Oxford University Press, 1958. [2] D. J. Griffith, Introduction to Quantum Mechanics, 3. Aufl. Cambridge: Cambridge University Press, 2018.
