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爱因斯坦求和约定： 当两个变量拥有相同下标且上下排列时，它们将被遍历并求和。此类下标在此语境中称为“哑指标”。此时可省略求和符号。
1. 有限维空间中的向量与张量 1.1 实向量空间
基于实数集
，
向量空间
是满足以下条件的向量集合：
加法交换律：
加法结合律：
加法单位元：
逆元：
乘法结合律：
乘法单位元：
乘法分配律：
向量空间中的所有向量都可以由空间中一组线性无关的向量表示。这组向量被称为空间的基 。基中向量的数量称为空间的维数 。
两个向量的标量积（内积）是满足以下性质的运算：
1.2 对偶基
设
为
维欧几里得空间
的一组基。
若满足以下条件，则称
为
的对偶基：
在欧几里得空间中，这样的基总是存在的。
设
表示欧几里得空间
的一组标准正交基。
在爱因斯坦求和约定下：
将第一个关系式代入第二个：
由于
是一组基，意味着其中的向量是线性无关的，
因此：
进一步令：
则：
因此，通过构造
的方式，任何基
都拥有其对偶基。
为了证明新基的线性无关性，
反证法，假设：
两边同时点乘
：
这说明没有任何这些向量的组合能得到 0。因此它们是线性无关的。
接下来是唯一性证明。
假设存在两组对偶基
和
：
我们已知：
代入：
得出：
代回原式：
借助对偶基，
可以表示
中的任意向量：
其中：
这两类分量分别被称为**逆变分量**和**协变分量**。
在这种记法下，
标量积的形式也发生了变化：
模为：
在此定义下，我们必须明确哪一组基是“原始基”，哪一组是“对偶基”。
1.3 作为线性映射的二阶张量
欧几里得空间中的线性映射为：
被称为二阶张量。
张量表示的变换是线性的，满足所有线性性质。
所有此类张量（线性映射）可以构成一个空间，记作
。
该空间具有单位元
，它不对输入向量做任何改变：
这个张量被称为单位张量。
例如，
向量积：
张量：
可以被视为一个张量。
向量积也可以表示为：
1.4 张量积 张量积能够从两个向量构造出一个二阶张量。
考虑两个向量
，
任意向量
可以被映射为另一个向量：
这定义了一个映射：
我们将张量积记为：
即：
通常为了简化，省略
符号。
张量积满足：
对于左映射：
张量集合
可以表示为一个向量空间。
现在引入一个定理：
定理： 设
证明：
考虑两个张量
和
，
令：
其中上标向量来自对偶基。
这两个张量相等当且仅当：
利用基
展开
：
同时：
回想使用向量
的展开方式：
用此方法展开
：
于是
和
相等。
可以展开为
的线性组合。
必须是线性无关的。
否则，
必然存在一组不全为零的系数
使得：
设
是其中一个非零系数。
两边同时右映射
：
这与
构成基（从而线性无关）的事实相矛盾。
一个二阶张量可以用基
来表示。
其中：
这种关系在量子力学的算符中被称为谱分解定理。
为了提供直观理解，
我们可以说张量空间
是一个向量空间及其对偶空间的张量积。
对于单位张量
，以其中一种形式为例：
在欧几里得空间中：
1.5 基变换
我们可以用基
来表示分量。
张量的情况类似：
使用另一组基
：
向量和张量可以用新基表示：
1.6 张量运算
复合：
幂：
转置：
逆：
1.7 张量的标量积 我们可以定义张量的标量积：
对于分量形式：
张量的标量积也是线性的。
考虑两个相同张量的标量积：
根据正定性，我们可以定义张量的范数：
如果标量积与复合运算混合：
我们可以用指标来写：
对于下一个等式及转置情况同理：
显然我们还有：
以及：
这表明：
1.8 二阶张量的分解
任何二阶张量
都可以分解为对称部分和反对称部分之和。
对称部分和反对称部分实际上是
的子集。
𝕪 𝕞 𝕜 𝕖 𝕨
这两个子空间只有一个共同元素
。
使用分量表示，对称张量由下式组成：
这是因为
。
反对称张量同理，
,
。
显然，一个对称张量和一个反对称张量是正交的：
1.9 度规张量
原始基和对偶基通过度规张量相联系。
度规张量有两种类型，分别定义在原始基和对偶基上。
协 变 形 式 逆 变 形 式
根据标量积的对称性，
，且度规张量是对称的。
这两类度规张量是互逆的，同时：
我们可以很容易地证明它：
度规张量也可以用来升降指标。
这可以通过代入原始基的对偶求和形式或反之来证明。
写成紧凑形式：
在这种变换下，向量本身保持不变。改变的仅仅是分量，因为基已经改变了。事实上，所有的基变换都可以这样操作，即使这两组基不是对偶的。
原始基和对偶基之间的联系是通过度规张量建立的，度规张量以协变和逆变两种形式存在。这些度规张量是对称的且互为逆矩阵，满足：
这种逆关系允许度规张量升降指标，实现协变分量和逆变分量之间的转换，如
和
。
当考虑两组任意基
和
时（它们不一定是对偶的），
它们通过一个变换矩阵
相关联，使得：
向量
可以同时在两组基中表示为：
逆变分量根据
进行变换，其矩阵形式为：
为了处理协变分量的变换，引入了一个混合度规张量
这个混合度规张量将
基下的协变分量与
基下的逆变分量联系起来，即
。根据
的定义和基的变换关系，可以推导出：
其中
是
基的协变度规张量。
因此，协变分量的变换为：
其中
是
的矩阵表示。
两组基的度规张量通过变换矩阵相联系。
基的协变度规张量
由
给出，或写成矩阵形式：
类似地，逆变度规张量变换为
。混合度规张量也存在一个逆关系：
且满足
，表明两个混合度规张量互为转置。
在
基是
基的对偶基这一特殊情况下，变换矩阵简化为
，混合度规张量变为
，变换退化为熟悉的形式：
对于正交变换（其中
是正交矩阵），度规张量变换为：
这保持了内积不变。
这种使用度规张量和混合度规张量的框架为任意基之间的向量分量变换提供了一致的方法，将概念扩展到了对偶基之外，并使其能够应用于各种坐标系和物理背景中。
参考文献: [1] M. Itskov, Tensor Algebra and Tensor Analysis for Engineers: With Applications to Continuum Mechanics , 6th ed. Cham, Switzerland: Springer Nature Switzerland AG, 2025.
