环路分析 - 以跨阻放大器为例

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标题：环路分析 - 以跨阻放大器为例

作者：EleCannonic

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1. 放大器中的不稳定性

在模拟电子课程中，我们学过一些放大器系统，如反比例转换器、模拟积分器等。老师一定提到过“反馈”，并告诉你反馈在放大系统中是为了将差分信号限制在线性区域内。然而，当你在现实中构建一个放大系统时，尤其是在高频情况下，你可能会遇到一个非常恼人的现象：振荡。在振荡的放大系统中，即使你在输入端没有施加任何信号，示波器也能在输出端检测到信号，且幅度不可忽略。通常，输出是一个正弦波。这种现象称为“自激振荡”。

你可以在 TINA TI 模拟器中看到它。

放大器系统仅用 2.5mV 的脉冲初始激励就会振荡

这种现象表明，必须考虑更多的非理想效应。在实践中，我们应该分析传递函数，并用额外的元件对其进行修改。

2. 振荡条件

我们知道运算放大器具有很大的开环增益。因此，引入反馈来配置所需的增益。通常，一个运算放大器系统可以分解为两部分：增益网络和反馈网络。

反馈图

现在我们来明确信号路径：一个只包含一个频率分量的信号被施加到输入端。然后，它首先通过放大器，被放大倍，变成

然后它进入反馈网络，被缩放倍，最后回到放大器的输入端。显然，当信号在环路中完成一个周期后，原始信号变成

这个信号将被从新的输入中减去，并重新进入环路，重复整个过程。现在我们假设原始输入是一个理想脉冲，这意味着当信号完成一个周期时，新的输入是 0。通常，新的输入是

如果，信号恢复到原始状态并开始一个新的周期。即使没有输入，系统也能自行维持一个非零的输出，即振荡。我们将和分解为幅度和相位。那么系统振荡的条件是

但在工程中，网络参数不可能如此精确。实际上，幅度通常满足，并通过某些非线性效应稳定下来。因此，你会在示波器上看到一个幅度恒定的正弦波。这个条件称为巴克豪森准则。

因此，要避免振荡，我们必须违反巴克豪森准则。在成立的频率点（称为单位增益点），信号在环路中完成一次旋转的总相位移应小于。总相位移与之间的距离称为相位裕度。如果我们想避免振荡，应该留出至少的相位裕度。在更苛刻的场景下，会更好。

3. 非理想效应

3.1 运算放大器内部的极点

在工程中，运算放大器显然不是理想的。运算放大器由电阻、电容和 MOSFET 等基本元件组成。这些基本元件以及寄生参数，使得运算放大器本身具有多个极点。目前市面上的运算放大器工作在 GHz 级别。在这个频率范围内，我们通常考虑两个极点。第一个（频率较低的）称为主导极点，第二个则称为二阶极点。考虑到运算放大器中的极点，开环增益成为频率的函数。

其中和是运算放大器的极点，且。在时，分母近似为 1，低频开环增益始终近似为常数。在主导极点处，。由于非常小（因为），可以忽略。因此，在主导极点处，开环增益为

开环增益为，相位移为。在但尚未达到的范围内，开环增益变为

因此，随着频率的增加，增益衰减，相位移逐渐达到。在工程中，幅度总是用分贝 (dB) 表示

和之间的幅度增益可以用分贝重写

显然，当频率增加 10 倍时，开环增益减小 20 dB，表示为 -20dB/dec 的衰减。这意味着一个极点最多会导致幅度衰减 -20dB/dec 和 -90° 的相位移。在极点频率处，幅度为 -3dB()，相位移为 -45°。

当你在较高频率遇到二阶极点时，它会带来相同的影响。与原始的 -20dB/dec 和 -90° 相移一起，二阶极点使增益恶化到 -40dB/dec 和 -180° 相移。

通常，制造商会在数据手册中提供幅度/相位-频率曲线。你可以在上面清楚地看到两个极点。

OPA847 数据手册中的幅度/相位-频率曲线

这个图称为波特图。

3.2 单位增益稳定性

并非所有运算放大器都是单位增益稳定的。我的意思是，如果你将总增益配置为 1（跟随器），无论你采取何种测量来防止它，它都必须振荡。为什么？以同相跟随器为例。假设运算放大器是 OPA847，上一节中的波特图

同相电压跟随器

考虑一个单频信号，。这个频率称为交叉频率，表示为。在处，开环增益约为 20dB。断开环路，从反相端注入一个测试信号。那么整个环路中的总增益是

从反相端进入运算放大器，幅度 20dB，相位移 -180°-180°=-360°（“反相”引起的额外 -180°）
返回到反相端，幅度 20dB，相位移 -360°
重复这些步骤

当测试信号返回到反相端时，其相位恢复到原始状态，形成正反馈。此外，20dB > 0，因此幅度增加。根据巴克豪森准则，它必须振荡。

然后考虑一个更通用的放大器

通用放大器

我们将所有噪声等效到同相端，没有其他源。显然，输出完全由噪声引起，噪声增益为

实际上，是反馈系数的倒数。

环路增益（不是总增益）可以用噪声增益表示。

因此，在波特图中，环路增益等于开环增益减去噪声增益。稳定性的关键是在交叉频率处保持相位裕度为正。在处，开环增益曲线和 NG 曲线在同一点交叉。

你可能会发现运算放大器数据手册中有一个增益要求。例如，OPA847 要求增益至少为 12 V/V。这意味着，在总增益大于 12 V/V 时，相位裕度为正。

我们有两种方法来判断运算放大器是否是单位增益稳定的：

在相位移 = -180° 的频率处，如果开环增益大于 0dB，则不是单位增益稳定的。
在开环增益 = 0dB 的频率处，如果相位移小于 -180°（例如 -210°），则不是单位增益稳定的。

你不需要计算，因为在单位增益配置下，。

3.3 输入阻抗

输入端也不是理想的。对于运算放大器本身，存在一个差分电容和一个对地的电容；对于输入源，存在输出阻抗。这些额外的阻抗会改变传递函数。

4. 反馈补偿

4.1 跨阻放大器 (TIA)

跨阻放大器是一种将电流信号转换为电压信号的放大系统。它广泛用于光电检测。基本的反相配置如下。

跨阻放大器

理想情况下，输出为

假设完全是电阻。然而，输入源通常带有一个额外的电容。我们可以采用以下模型作为示例。差分电容和运算放大器输入电容等效为。

带源负载的跨阻放大器

反馈系数为

假设，。同时选择 OPA847 作为我们的运算放大器。开环增益近似为

噪声增益

我们通常将烦人的曲线简化为折线。在极点和零点处折断。

运算放大器的简化波特图

添加噪声增益曲线。（零点效应与极点效应相反。零点引入 +45°，最终 +90° 相移和 +20dB/dec 的幅度增加。）

运算放大器的简化波特图

相位裕度是噪声相位移与运算放大器相位移之差，减去 -180°。显然，使用此参数配置，相位裕度仅为 0.2°，这意味着该电路几乎肯定会自激振荡，并且无法正确放大电流信号，尤其是在高频情况下。

4.2 补偿值计算

为了解决这些问题，我们应该采取一些措施来增加相位裕度。由于运算放大器无法从 PCB 层面进行修改，我们必须修改反馈网络。请注意，相位裕度的恶化是由噪声增益的零点引起的。因此，一个想法是引入一个极点将相位移拉回到 -45°，这样相位裕度就会很好。最简单的方法是在反馈电阻上并联一个小电容器作为补偿。

补偿的 TIA

有了这个补偿，新的变为

现在引入了一个新的极点。由于在我们的例子中，我们可以近似

零 点 极 点

新曲线变为

补偿 TIA 波特图

从图中可以看出，为了获得大于 45° 的相位裕度，极点应小于交叉频率。

在低频区域，开环增益可以用增益带宽积 (GBP) 表示

在交叉频率处，。暂时我们检查补偿前的交叉频率。因此

近似成立是因为。然后

所需的极点为

我们得到

这意味着只有当补偿电容器大于 11.8pF 时，系统才能保持稳定。

另一方面，电容器也不能太大，因为它会影响你的带宽。通常，如果我们需要的带宽是，

如果我们需要的带宽是 5MHz，则电容器应为

此外，OPA847 要求增益大于 12 V/V 才能稳定。查看噪声增益曲线。在高频区域，阻抗主要由电容决定。因此，高频增益为

但通常，补偿范围由以下两个不等式确定：

参考文献：

[1] Texas Instruments, Transimpedance Considerations for High-Speed Amplifiers, Application Report SBOA122, Nov. 2009.
[2] S. Cherian, What You Need to Know about Transimpedance Amplifiers - Part 1, Texas Instruments, Technical Article, 2023.
[3] Texas Instruments, Wideband, Ultra-Low Noise, Voltage-Feedback OPERATIONAL AMPLIFIER with Shutdown, Datasheet SBO251E, Dec. 2008
[4] 杨建国，《新概念模拟电路》. [在线]. 亚德诺半导体技术（上海）有限公司授权，2018.