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Einstein-Summenkonvention: Wenn zwei Variablen denselben Index teilen und übereinander positioniert sind, werden sie durchlaufen und summiert. Solche Indizes werden in diesem Zusammenhang als „Dummy-Indizes“ bezeichnet. In diesem Fall kann das Summenzeichen weggelassen werden.
1. Vektoren und Tensoren in einem endlichdimensionalen Raum
1.1 Reeller Vektorraum
Basierend auf der Menge der reellen Zahlen ,
ist ein Vektorraum eine Menge von Vektoren, die Folgendes erfüllen:
Addition ist kommutativ
Addition ist assoziativ
Additionseinheit
Inverses
Multiplikation ist assoziativ
Multiplikationseinheit
Multiplikation ist distributiv:
Alle Vektoren in einem Vektorraum können durch eine Menge linear unabhängiger Vektoren im Raum dargestellt werden. Diese Menge von Vektoren wird als Basis des Raumes bezeichnet. Die Anzahl der Vektoren der Basis wird als Dimension des Raumes bezeichnet.
Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist eine Operation, die Folgendes erfüllt:
kommutativ:
distributiv:
Skalare Multiplikation ist assoziativ:
positiv definit:
Die Norm ist definiert durch
Im kartesischen Koordinatensystem kann das Skalarprodukt berechnet werden durch
Wenn , gelten die beiden Vektoren als orthogonal.
1.2 Duale Basen
Sei eine Basis eines n-dimensionalen euklidischen Raumes .
wird als duale Basis von bezeichnet, wenn gilt:
Im euklidischen Raum existiert eine solche Basis immer.
Sei eine Menge von orthonormalen Basen des euklidischen Raumes .
Unter der Einstein-Summenkonvention gilt:
Setzt man die erste Relation in die zweite ein:
ist eine Menge von Basen, was bedeutet, dass die Vektoren darin linear unabhängig sind.
Daher gilt:
Weiter sei:
Dann gilt:
Somit hat jede Basis ihre duale Basis, indem mit konstruiert wird.
Um die lineare Unabhängigkeit der neuen Basis zu beweisen,
nehmen wir wider besseres Wissen an:
Multipliziert man beide Seiten mit :
Das bedeutet, dass keine Kombinationen dieser Vektoren Null ergeben. Daher sind sie linear unabhängig.
Als Nächstes kommt die Eindeutigkeit.
Angenommen, es gibt zwei duale Basen und :
Wir haben auch:
Einsetzen ergibt:
Dies führt zu:
Zurück einsetzen ergibt:
Mit Hilfe der dualen Basen
kann ein beliebiger Vektor in dargestellt werden:
wobei gilt:
Die beiden Arten von Komponenten werden als kontravariante Komponenten bzw. kovariante Komponenten bezeichnet.
Mit dieser Notation
ändert sich auch das Skalarprodukt:
Die Norm ist:
Unter dieser Definition müssen wir definieren, welche Basis die „ursprüngliche“ und welche die „duale“ ist.
1.3 Zweiter Ordnung Tensor als lineare Abbildung
Eine lineare Abbildung im euklidischen Raum ist gegeben durch
wird als Tensor zweiter Ordnung bezeichnet.
Durch einen Tensor dargestellte Transformationen sind linear und
erfüllen alle linearen Eigenschaften.
Alle solchen Tensoren (lineare Abbildungen) können in einem Raum enthalten sein,
bezeichnet als .
Dieser Raum hat ein Einselement ,
das keine Änderung am Eingangsvektor bewirkt:
Dieser Tensor wird als Identitätstensor bezeichnet.
Zum Beispiel,
das Vektorprodukt
Der Tensor
kann als Tensor betrachtet werden.
Das Vektorprodukt kann auch dargestellt werden durch
1.4 Tensorprodukt
Das Tensorprodukt ermöglicht die Konstruktion eines Tensors zweiter Ordnung aus zwei Vektoren.
Betrachten wir zwei Vektoren .
Ein beliebiger Vektor kann in einen anderen Vektor abgebildet werden:
Dies definiert eine Abbildung:
Wir bezeichnen
als das Tensorprodukt.
Im Allgemeinen wird zur Vereinfachung das -Symbol weggelassen.
Das Tensorprodukt erfüllt:
Für die linke Abbildung gilt:
Die Menge der Tensoren kann einen Vektorraum darstellen.
Nun führen wir einen Satz ein:
Satz: Seien und zwei Basen von .
Dann bilden die Tensoren eine Basis von . Die Dimension von ist somit .
Beweis.
Betrachten wir zwei Tensoren und , und sei:
Obere Indizes bei Vektoren stammen aus den dualen Basen.
Die beiden Tensoren sind gleich, wenn gilt:
Entwickeln wir nach der Basis :
Währenddessen gilt:
Erinnern wir uns an die Entwicklung nach einem Vektor :
Entwickeln wir mit dieser Methode:
Dann sind und gleich.
kann durch eine Linearkombination von entwickelt werden.
Die müssen linear unabhängig sein.
Andernfalls müsste es eine Menge von nicht alle Null-Koeffizienten geben, sodass gilt:
Sei einer der nicht-linearen Koeffizienten.
Multiplizieren wir beide Seiten von rechts mit .
Dies widerspricht der Tatsache, dass eine Basis bildet und daher linear unabhängig ist.
Ein Tensor zweiter Ordnung kann mit einer Basis dargestellt werden:
wobei gilt:
Diese Relation wird in der Quantenmechanik für Operatoren als Spektralzerlegungssatz bezeichnet.
Um eine Intuition zu vermitteln,
kann man sagen, dass der Tensorraum das Tensorprodukt eines Vektorraums und seines dualen Raumes ist.
Für den Identitätstensor
nehmen wir zum Beispiel eine Form:
Im euklidischen Raum gilt:
1.5 Basiswechsel
Wir können Komponenten mit der Basis darstellen.
Dies ist ähnlich für einen Tensor:
Mit einer anderen Basis gilt:
Vektoren und Tensoren können mit der neuen Basis dargestellt werden:
1.6 Tensoroperationen
Komposition:
Es gilt:
Für skalare Abbildungen gilt:
Die Komposition ist assoziativ und distributiv, aber nicht kommutativ. Daher gilt .
Für den Null- und Identitätstensor gilt:
In Komponentenform gilt:
Oder man kann andere Kombinationen von Kontravarianz und Kovarianz versuchen.
Potenz:
Tensorfunktionen können mit Potenzen definiert werden,
ähnlich der Taylor-Entwicklung.
Zum Beispiel die Tensor-Exponentialfunktion:
Transposition:
Die Transposition repräsentiert eine Umkehrung des Raumes,
die als Operation auf dem dualen Raum betrachtet werden kann.
Wenn gilt:
Dann gilt:
Für das Tensorprodukt gilt:
Inversion:
Sei ,
entwickeln wir mit Komponenten:
Angenommen, die Inverse von ist ,
dann gilt:
Weiterhin gilt:
.
Wenn wir diese gleichsetzen, erhalten wir:
Da eine Basis bildet,
muss der Koeffizient Null sein:
Daher gilt:
Dies bedeutet:
Darüber hinaus gilt:
Wenn ein Tensor die Bedingung
erfüllt,
dann wird dieser Tensor als orthogonaler Tensor bezeichnet.
1.7 Skalarprodukt von Tensoren
Wir können ein Skalarprodukt von Tensoren definieren:
In Komponentenform gilt:
Das Skalarprodukt für Tensoren ist ebenfalls linear.
Betrachten wir ein Skalarprodukt zweier gleicher Tensoren:
Aufgrund der positiven Definitheit können wir die Norm eines Tensors definieren:
Wenn Skalarprodukt und Komposition gemischt werden:
Wir können dies mit Indizes schreiben:
Ähnlich für die nächste Gleichung und für Transpositionen:
Offensichtlich gilt auch:
und
Dies deutet darauf hin, dass gilt:
1.8 Zerlegung von Tensoren zweiter Ordnung
Jeder Tensor zweiter Ordnung kann in eine Summe aus symmetrischen und schiefsymmetrischen Teilen zerlegt werden.
Die Mengen Sym und Skew sind tatsächlich Teilmengen von .
Die beiden Unterräume haben nur ein gemeinsames Element: .
In Komponenten ausgedrückt,
symmetrische Tensoren bestehen aus:
wegen .
Ähnlich für schiefsymmetrische Tensoren, , .
Offensichtlich sind ein symmetrischer Tensor und ein schiefsymmetrischer Tensor orthogonal:
1.9 Metrischer Tensor
Die ursprünglichen und dualen Basen sind mit dem metrischen Tensor verbunden.
Der metrische Tensor hat zwei Typen,
definiert auf der ursprünglichen bzw. dualen Basis.
Aufgrund der Symmetrie des Skalarprodukts
gilt ,
und der metrische Tensor ist symmetrisch.
Die beiden Arten von metrischen Tensoren sind invertierbar,
währenddessen gilt:
Dies kann leicht bewiesen werden:
Der metrische Tensor kann auch verwendet werden, um Indizes zu heben oder zu senken.
Dies kann durch Einsetzen der dualen Summation für die ursprüngliche Basis und umgekehrt bewiesen werden.
Schreiben wir dies in kompakter Form:
Bei dieser Transformation ändert sich der Vektor nicht. Geändert werden nur die Komponenten, da die Basis geändert wurde. Tatsächlich können alle Basiswechsel auf diese Weise durchgeführt werden, auch wenn die beiden Basen nicht dual sind.
Die Verbindung zwischen den ursprünglichen und dualen Basen wird durch den metrischen Tensor hergestellt, der sowohl in kovarianter als auch in kontravarianter Form existiert. Diese metrischen Tensoren sind symmetrisch und gegenseitig invers, und erfüllen die Bedingung
Diese inverse Beziehung ermöglicht es dem metrischen Tensor, Indizes zu heben und zu senken, wodurch zwischen kovarianten und kontravarianten Komponenten umgewandelt wird, wie z. B. und .
Wenn zwei beliebige Basismengen und betrachtet werden,
die nicht notwendigerweise dual sind,
sind sie durch eine Transformationsmatrix verbunden, so dass gilt:
Der Vektor kann in beiden Basen ausgedrückt werden als
Die kontravarianten Komponenten transformieren sich gemäß , was in Matrixform ergibt.
Um die Transformation von kovarianten Komponenten zu handhaben, wird ein gemischter metrischer Tensor eingeführt. Dieser gemischte metrische Tensor bezieht die kovarianten Komponenten in der -Basis auf die kontravarianten Komponenten in der -Basis als . Unter Verwendung der Definition von und der Transformation der Basen folgt, dass
wobei der kovariante metrische Tensor der -Basis ist.
Somit transformieren sich die kovarianten Komponenten als
wobei die Matrixdarstellung von ist.
Die metrischen Tensoren der beiden Basen sind durch die Transformationsmatrix verbunden. Der kovariante metrische Tensor der -Basis ist gegeben durch , oder in Matrixform
Ähnlich transformiert sich der kontravariante metrische Tensor als . Der gemischte metrische Tensor hat ebenfalls eine inverse Beziehung die erfüllt, was bedeutet, dass die beiden gemischten metrischen Tensoren Transponierte voneinander sind.
Im Spezialfall, in dem die -Basis die Duale der -Basis ist, vereinfacht sich die Transformationsmatrix zu , und der gemischte metrische Tensor wird zu , wodurch die Transformation auf die bekannte Form reduziert wird.
Für orthogonale Transformationen, bei denen eine orthogonale Matrix ist, transformiert sich der metrische Tensor als und erhält die inneren Produkte.
Dieses Framework der Verwendung von metrischen Tensoren und gemischten metrischen Tensoren bietet eine konsistente Methode zur Transformation von Vektorkomponenten zwischen beliebigen Basen, verallgemeinert das Konzept über duale Basen hinaus und ermöglicht Anwendungen in verschiedenen Koordinatensystemen und physikalischen Kontexten.
Referenzen:
[1] M. Itskov, Tensor Algebra and Tensor Analysis for Engineers: With Applications to Continuum Mechanics, 6. Aufl. Cham, Schweiz: Springer Nature Switzerland AG, 2025.
