模拟集成电路
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- 标题：模拟集成电路
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1. MOS 器件
1.1 通用考量
MOSFET 由栅极（多晶硅）、衬底（P/N 半导体）、源极（N/P 半导体）和漏极（N/P 半导体）组成。由于制造过程中的对称性，源极和漏极是可互换的。MOSFET 有两种类型：如果衬底由 P 型半导体构成（源极和漏极由 N 型半导体构成），则为 NMOS 器件；反之，如果衬底由 N 型半导体构成（源极和漏极由 P 型半导体构成），则为 PMOS 器件。下图展示了一个典型的 NMOS 结构：
沿源漏电流方向的栅极的横向尺寸称为长度
在长沟道工艺中，可以忽略扩散长度，因此我们近似认为
由于源极和漏极是对称的，我们将“载流子提供者”称为源极。例如，在 NMOS 中，电压较低的端子是源极，因为它提供电子来建立电流。
实际上，MOSFET 是一个四端器件。最后一个端子是衬底。在典型的 MOS 操作中，S/D 结必须反向偏置，因此我们假设全局 P 型衬底连接到最低的电源。
但对于 PMOS，衬底是独立的，因为它需要在 P 型衬底上制作一个 N 型阱。
在一些现代工艺中，我们先制作一个深 N 型阱，然后在其中制作一个 P 型阱来制造 NMOS，以将衬底与其他器件隔离。
通常，如果没有特别指定，NMOS 中的 P 型衬底连接到最低电源（负电源或 GND），PMOS 中的 N 型阱连接到最高正电源。然后，在符号中，我们默认忽略衬底端子。
1.2 MOS I/V 特性
MOSFET 具有开关特性。现在我们来分析它。
考虑一个连接到外部电压的 NMOS，源极连接到 GND。当栅极电压
在半导体物理学中，可以证明：
其中
在制造过程中，通过修改掺杂剂浓度来调整阈值电压，以满足不同的要求。
源极不一定连接到 GND。因此，上述
对于 PMOS，其开关特性与 NMOS 类似，但方向相反。当
为了获得 MOSFET 漏极电流与其端子电压之间的关系，我们进行两点观察。
首先，考虑一个承载电流
考虑一个源极和漏极都连接到 GND 的 NMOS，表示
多余电压
但是当漏极电压大于 0 时，栅极与沟道之间的局部差值从
其中
负号来自电子。
在半导体中，
因此：
边界条件表明
由于
这是
峰值电流为：
我们将
在三极管区，V-I 曲线近似为一条直线。因此，如果我们有
但是如果
请注意，图中沟道宽度代表电荷密度而不是几何宽度。在饱和区，电流几乎与
如果已知
总结：
- 截止区：
， - 三极管区：
， ， - 饱和区：
， ，
类似地，对于 PMOS，电流公式为：
负号出现是因为电流方向与 NMOS 相反。在 NMOS 中，
1.3 MOS 跨导
从上面的章节可以看出，MOSFET 用
$$
g_m = \dfrac{\partial I_D}{\partial V_{GS}}\bigg|{V{DS} \text{const}} = \mu_n C_{ox} \dfrac{W}{L}(V_{GS} - V_{TH})
$$
每个表达式都有用。
例如，在实际应用中，
1.4 二阶效应
- 体效应
在之前的分析中，我们默认为体和晶体管的源极都接地。如果 NMOS 的体电压低于源极电压会发生什么？实际上，MOS 器件仍然能正常工作，但某些特性会发生变化。回顾之前的阈值电压分析。如果衬底电压发生变化，随着
可以证明：
其中
由于
- 沟道长度调制
回顾饱和区的电流，我们用
- 亚阈值导电
实际上，器件在
其中
1.5 MOS 器件电容
注意：为简化描述，我们将“电容”表示为“cap.”。
我们知道 PN 结存在非理想电容。在 MOS 器件中，电容分布如下所示：
我们将
其中
其中
在不同区域，MOSFET 的电容会发生变化。如果器件关闭，衬底、源极和漏极之间没有连接。则：
符号
当器件处于深三极管区时，即
在饱和区，沟道与漏极之间的连接被切断，因此
并应用饱和区的电流方程：
忽略沟道长度调制，
沟道中的总电荷为：
代入
1.6 小信号模型
当器件导通时，端子 D 和端子 S 被定义为输出端子。因此，
通常
回想一下，体电势会影响阈值电压，而电流也与阈值电压相关。这相当于增加一个与
其中
如果考虑所有电容，完整的 AC 模型应为：
对于 PMOS 器件，由于电源端子在 AC 分析中等效于地（AC 接地），因此其 AC 模型保持不变。通常，我们会镜像翻转它们，以对应于 DC 电路中 PMOS 器件位于顶部的布局。
2. 单级放大器
2.1 普适考虑
将输入信号表示为
这个线性系数称为增益。然而，在现实中我们无法制造出理想的器件，这意味着所有放大器都存在非线性。根据泰勒级数理论，我们用多项式来近似特性：
在这个通用关系中，
我们用以下指标来评估放大器的性能：增益、速度、I/O范围、功耗、电源电压、线性度、噪声等。其中大多数指标相互制约，因此设计通常是一个多维优化问题。
我们的目标是放大微小信号。然而，MOS器件有一个阈值电压，并且可能在不同区域工作。因此，设置一个合适的直流工作点是必要的，以确保器件工作在期望的区域。
在深入研究具体的放大电路之前，我们介绍一个通用的增益计算公式。如果一个系统具有总跨导
在一些教科书中，你可能会发现一个额外的负号，那是因为我们采用了不同的定义。他们为了方便，强制使跨导为正值，因此必须添加一个额外的“-”来表示系统产生“反相”。在我们的定义中，该符号被吸收到
这个公式很容易证明。根据定义
由于 MOSFET 也可以被视为一个放大器件，我们定义
作为其固有增益，以表示其放大能力。
2.2 共源极放大器 (CS)
2.2.1 带电阻负载的共源极放大器
MOSFET 将栅极的输入电压信号转换为电流信号。通过负载电阻，电流又被转换回电压信号。这个基本思想引出了共源极 (CS) 放大器。
我们期望器件工作在饱和区 (sat.) 并忽略沟道长度调制。直流工作点由
这两个方程在饱和区成立。注意
- 截止区：
- 三极管区：
在截止区 (
由于三极管区的跨导下降，我们通常确保
我们有三种方法来计算电压增益：
- 对直流公式进行偏微分
记住
- 分析小信号模型
- 直接使用通用公式
现在考虑沟道长度调制，这意味着
由于
2.2.2 带二极管连接负载的共源极放大器
基本的 CS 拓扑存在一些问题：
最严重的问题是非线性，这主要是由
由于
但是电流源不可能做到理想。事实上如果电流源是理想的，直流工作点将没有良定义，你可以尝试计算输出电压
如果器件这样连接，则
你可以画出其小信号模型
如果 NMOS 作为负载，我们必须考虑体效应。
从源端列出电流方程
解出方程并计算阻抗
现在我们研究带 NMOS 负载的 CS 放大器。首先忽略沟道调制
从输出端看，M2 提供了一个阻抗
其中
该电路的线性行为也可以通过大信号分析来确认。
因此
对两边关于
应用链式法则
然后
研究该电路的整体大信号特性也很有启发性。但让我们先考虑带容性负载的电路。如果
下图绘制了
如果负载是用 PMOS 实现的，那么体效应消失，增益会更线性。
随着
如果忽略沟道调制。如果考虑沟道调制，增益将依赖于
2.2.3 带电流源负载的共源极放大器
稳定直流工作点的另一种方法是添加一个额外的偏置来代替二极管连接的 MOS 器件。
显然，总输出阻抗为
如果 M2 偏置在饱和区。然而，
KCL 方程
如果上面的 MOSFET 偏置在三极管区，那么它几乎与最初的未优化电路相同。偏置在三极管区的一个优点是可以通过调整
2.2.4 带主动负载的共源极放大器
如果其中一个 MOS 器件仅提供偏置，那么该 MOS 器件的增益似乎就被浪费了。我们能否充分利用这两个管子？是的。这种拓扑称为补偿式 CS，也称为 CMOS 反相器。
从图 (b) 的小信号模型来看，输入跨导
CMOS 反相器作为放大器时必须解决两个关键问题：首先，两个晶体管的偏置电流是 PVT（工艺漂移、电压漂移、温度漂移，这三个参数影响性能且无法控制）的强函数。特别是，由于
并且输入范围非常小。CMOS 反相器牺牲了电源噪声抑制和输入范围来获得更大的增益。因此，这种拓扑在数字电路中被广泛使用，而在模拟电路中很少使用。
2.2.5 源极退化
在某些应用中，漏极电流对过驱动电压的非线性依赖性会导致过度的非线性。通过在源极串联一个“退化”电阻，我们可以使输入器件更线性。
忽略沟道调制和体效应。在这里，随着
另一种看待方式是跨导。
然后
源极退化电阻在总跨导中增加了一个额外的
AC 增益为
如果不忽略沟道调制和体效应，小信号模型如下所示
可以证明
2.3 共漏级 (源极跟随器, SF)
我们对共源级的分析表明，为了在有限的电源电压下获得高电压增益，负载阻抗必须尽可能大。如果该级需要驱动低阻抗负载，则必须在放大器之后放置一个“缓冲器 (buffer)”，以便在增益降低几乎可以忽略不计的情况下驱动负载。源极跟随器（也称为“共漏”级）可以充当电压缓冲器。
我们知道 CS 级具有较高的输出阻抗，主要受限于负载电阻。如果下一级的输入阻抗很小，输出电压可能会下降，导致只有部分信号能进入下一级。通过应用源极跟随器，总输出阻抗将减小，因此具有更好的驱动能力。
我们注意到，当
对
我们得到：
代入跨导
使用小信号模型，结论会更简单：
随着
出于与 CS 类似的理由，我们可以用电流源替换
通常电流源由偏置的 MOS 管实现。令两个电流方程相等：
我们可以看到输入和输出在大体上是线性的：
我们应用反馈环路来调节
显然 SF 具有高输入阻抗。我们检查带有电流源负载的 SF 的输出阻抗。
在源极点：
得出：
由于
我们知道体效应是导致部分非线性的原因。如果将衬底（bulk）与源极相连，就可以解决这个问题，这意味着将所有 MOS 管替换为 PMOS。
我们必须更换所有器件，因为所有 NMOS 都共享相同的衬底电位 GND。这种拓扑结构的非线性较小，但 PMOS 较低的迁移率也会导致较高的输出阻抗。
源极跟随器还会将信号的直流电平移动
2.4 共栅级 (CG)
我们也可以将信号施加在源端。
注意，你应该在
我们同样先研究其直流特性。以直接耦合拓扑为例：当
且
显然，随着
随着
有趣的是，衬底效应（体效应）增加了该级的等效跨导。从方程可以看出，我们可以通过增大
在电容耦合拓扑中，
对于输入阻抗，我们注意到在忽略沟道长度调制的情况下，从 M1 源极看进去的阻抗等于
如果我们画出小信号图，结果将是一样的。现在假设电流源具有有限电阻（否则直流点将无法明确定义）。小信号模型应为：
只需应用 KCL 即可得出：
由于衬底效应，共栅级的增益略高。
我们现在分别计算输入和输出阻抗。
在节点 X 处：
表明：
通常
然后将输入电压设置为 0，但保留源阻抗来计算输出阻抗。
画出小信号模型并在源端列出 KCL：
表明：
这是一个非常大的值。因此，CG 级具有低输入阻抗和高输出阻抗。这种阻抗特性适合用作电流缓冲器或阻抗转换器。我们粗略地说，晶体管将其源极电阻向上转换，将其漏极电阻向下转换（当在相应端子观察时）。
2.5 共源共栅
2.5.1 经典共源共栅
如上一节所述，CG 级适合接收电流输入。我们也知道 CS 拓扑将电压输入转换为电流输入。CS 和 CG 的级联被称为 共源共栅 (Cascode) 拓扑。
我们不使用小信号模型（当然你也可以用），而是分析器件特定的行为。在忽略沟道调制和衬底效应的情况下，我们分别考察
当
到目前为止，我们已经在不应用小信号模型的情况下得出了交流增益。这种分析在复杂系统中更为实用。可以想象，在拥有数百个 MOSFET 的大规模模拟芯片中，画小信号模型是既烦人又不现实的。
现在考察 M2 上的扰动，同时 M1 上的输入信号固定在常数直流电平。在这种情况下，M1 充当恒定直流电流源。无论
注意到
为了使两个器件都偏置在饱和区，我们必须保证
为了使 M2 饱和，
共源共栅级的缺点之一是输出摆幅受限。
我们现在分析当
当
我们仍然画出小信号模型，并尝试找到总跨导和输出阻抗。
所有电流都流经
假设 M2 源极上的交流电压为
则：
这是一个非常大的值。因此，共源共栅适合接收电压输入并给出电流输出。
注意 M1 从漏极看进去的输出阻抗是
最后我们得到交流增益：
共源共栅充分利用了两个器件的本征增益。如果两个器件完全相同：
如果衬底效应不可忽略，
事实上，我们可以堆叠多级 CG 来提升输出阻抗，倍数为
这显著提高了最低的
这里存在权衡问题。回想
信号路径为
共源共栅结构不一定作为放大器运行。该拓扑的另一个流行应用是构建恒流源。高输出阻抗产生的电流源更接近理想情况，但代价是消耗了电压余度。
2.5.2 折叠共源共栅
经典共源共栅存在一个问题：从 VDD 到 GND 的一条路径上有太多的器件，这会限制摆幅，因为我们必须保证所有器件都饱和，增加了设计难度。为了解决这个问题，我们应用了 折叠共源共栅。
在折叠共源共栅中，CS 器件和 CG 器件被分离到两条路径上，可以分别独立设计，但代价是电流翻倍和功耗增加四倍（因为两条路径都需要一个
通常折叠共源共栅由电流源
对于
并联减小了输出阻抗，并进一步降低了增益。这也是折叠共源共栅的代价之一。
直流特性为：
3. 差分放大器
3.1 单端与差分工作方式
前一章中的所有电路处理的都是单端信号（single-ended signals），即使用地（GND）作为参考点。差分信号定义为在两个节点之间测量的信号，这两个节点相对于一个固定电位具有大小相等、方向相反的信号幅度。该固定电位被称为共模信号（common-mode signal）。
通常，我们可以将两个输入进行分解：
这就是我们分解共模分量（common-mode component）和差模分量（differential mode component）的方法。
那么，既然差分信号看起来比单端信号更复杂，我们为什么要使用它呢？考虑以下情况：
时钟线会通过线间寄生电容对相邻线路产生环境噪声。如果单端信号承载在靠近时钟线的导线上，该信号将对时钟扰动非常敏感。但是，如果信号被分配到两条对称分布的线路上作为差分信号，来自时钟的扰动对两条线的作用是相同的（幅度和相位均相同）。随后，在提取差模信号的相减过程中，相同的噪声将相互抵消。噪声将全部加载在共模分量上，而我们对此并不关心。
3.2 差分对
3.2.1 伪差分对
我们如何放大差分信号？最简单的想法是分别放大两个支路，并保持相同的增益。
为了实现差分特性，两个器件上的所有组件必须完全一致。这里，两个差分输入
由于这仅仅是两个带有反相差分输入的共源极阶段，忽略沟道长度调制（channel length modulation）和衬底效应，其交流增益为：
因为这两条路径几乎完全独立，我们称这种拓扑结构为伪差分对（pseudo-differential pair）。
基础共源极阶段中的所有问题也同样出现在这种拓扑结构中。不同的共模偏置会影响
另一方面，伪差分对也会放大无用的共模信号，从而影响输出摆幅。
3.2.2 基本差分对
一个简单的修改就可以解决上述问题。在这种拓扑结构中，两条路径通过一个恒流源耦合在一起，恒流源通常由一个 MOS 器件实现。这种拓扑结构被称为源极耦合对（source-coupled pair）。
源极在两条路径之间引入了一个约束：
我们使
注意，该电路包含三个差分量：
接下来转向共模行为。我们设置
当
当
总结如下：
随着
在该区域，
超过上限后，共模特性不会改变，但差分增益会下降。
接下来是输出摆幅。如果要让 M1 和 M2 处于饱和区：
得出：
上限当然是
注意，较小的
现在我们定量分析差模行为。我们假设电路是对称的，M1 和 M2 饱和，且没有沟道长度调制，简单计算
对于平方律器件，我们有：
因此，
根据前述定义：
我们希望计算差分输出电流
即：
再次将两边平方，并注意
因此：
现在我们得到了差分电流与差分输入电压之间的关系。我们可以说，M1、M2 和尾电流源作为一个受压控电流源工作，根据上述大信号特性产生
在进一步研究之前，计算特性的斜率，即 M1 和 M2 的等效
对于
由于在此条件下每个晶体管承载
让我们现在更仔细地检查该表达式。如果
这产生了与上述相同的平衡状态
但对于更大的
这个值意味着如果你想让
因此，
平衡状态下
接下来是小信号分析。我们假设 M3 是一个恒流源，并在交流图中将其截止。将两个器件共享的源极端子记为 S，将两条路径对
注意，两条路径是完全对称的，且输入是反相的。所以
这是差分对中一个令人惊叹的引理。节点 S 的电压随共模输入而变化，但在交流分析中保持恒定。我们称 S 为“虚地”（virtual ground），因为它实际上充当了交流地。这是因为反相输入在两条路径中转换为反相的
由于两条路径完全对称：
那么：
但是 PVT（工艺、电压、温度）可能会扰动
在节点 S 处，交流电流为：
得出（由于相位相反，相加项消失）：
给出：
3.2.3 源极退化差分对
与单级共源极（CS）放大器类似，差分对也可以引入电阻退化以改善其线性度。
其原理与共源极阶段相同。为了进行分析，我们引入半电路技术。由于差分对中的两条路径完全对称，这种技术非常高效。我们将共模和差模分别进行分析。
首先是共模分析。假设 M1 和 M2 均处于饱和区，当差模（DM）电压等于 0 时，每条路径的电流均为
注意，退化电阻会使压摆幅（headroom）减小
在差模分析中，你可以看到电阻
接下来是差模分析。与上一节的分析类似，源极电阻之间的节点是虚地。因此，在差模分析中，电流源消失，其差模半电路是一个典型的源极退化共源极阶段。
此时的小信号增益应为：
因此，该电路通过牺牲增益来换取线性度。线性度的提升如下图所示。
退化电阻拓宽了输入电压摆幅。假设输入共模偏置在合适的电平，然后增加差模输入直到其中一个器件截止。在这种情况下，另一条路径获得全部电流
得出：
注意，等式右侧的第一项是退化前的输入摆幅。因此结论是：退化电阻使输入摆幅增加了
我们需要明确半电路技术。该技术的本质是对称性。因此，如果两个对称路径之间存在连接，则该连接应被分为两部分。以下图所示电路为例。
对于共模，由于
显然，半电路应为：
注意：虚地（差模地）并不等同于小信号地（交流地）。前者基于差分对的对称性，其等效仍然是直流地，因为差模信号仍属于大信号。而后者基于线性度。因此，在分析中，差模地应被视为直流地。
3.3 共模响应
在现实情况中，电路并非理想。通常在差分对中，非对称性或尾电流源的有限阻抗都会在输出差模信号中引入共模分量。
首先考虑尾电流源的阻抗。
我们首先假设电路是对称的。在每条路径中：
通过应用半电路技术：
根据基尔霍夫电流定律（KCL）：
结合上述两个方程：
由此可见，
在对称电路中，输入共模变化会扰动静态工作点，从而改变小信号增益，并可能限制输出电压摆幅。
接下来考虑非对称性。假设两条路径中的
根据上述结论，两个输出节点的电压分别为：
因此，输入的共模变化会在输出端引入差模分量。另一方面，MOS 器件通常也不是对称的。由于尺寸和阈值电压的失配，两个晶体管携带的电流略有不同，并表现出不相等的跨导。设
且
我们随后得到输出电压为：
其差值为：
换句话说，电路将输入共模变化转换为差模误差，其转换因子为：
通常，为了衡量差分电路的抑制性能，我们定义一个参数称为共模抑制比（CMRR）：
如果仅考虑
3.4 具有 MOS 负载的差分对
差分对的负载不一定由线性电阻实现。与共源极阶段一样，差分对可以采用二极管连接负载或电流源负载。
半电路分析表明，这是一个具有 MOS 负载的共源极（CS）阶段。回顾上一章的小信号模型：
得出：
将
$$
A_v = -\sqrt{\dfrac{\mu_n(W/L)N}{\mu_P(W/L)P}} = \dfrac{|V{GS2} - V{THP}|}{V_{GS1} - V_{THN}}
$$
二极管连接负载会消耗电压摆幅（headroom），从而在增益和输出摆幅之间产生折中。因为
在该结构中，M5 分流了 80% 的
3.5 吉尔伯特单元 (Gilbert Cell)
差分对的小信号增益是
注意，如果我们交换输出端的定义，增益就会变为正值：
因此，为了获得从负到正连续变化的增益，应该使用两个差分对。
如果我们将两个输出信号相加：
如果这两个差分对完全相同：
通过使
但是如何将这两个差分信号相加呢？注意：
然后我们将相关的终端连接在一起（因为
现在，偏置包含两个独立的变量
4. 偏置技术
4.1 电流镜
在之前的章节中，我们多次使用了偏置电压或电流。例如，差分对中的尾电流。为了产生电流，我们有两种思路：
- 在 MOS 器件的栅极产生偏置电压，使其作为电流源工作
- 复制参考电流
第一种思路是不可行的。至于为什么，请看以下电路示例：
在该电路中：
虽然看起来简单，但完全没法用。首先，电流随
另一点是，通过电阻分压产生电压电平也是一个很糟糕的选择，因为电压会随负载的变化而变化。
因此，我们应该应用第二种思路：复制参考电流。这一功能通过电流镜实现。基本思想是：对于 MOS 器件，
于是我们有了以下拓扑结构：电流镜。
M1 是二极管连接方式，因此一定处于饱和区，那么
得出：
如果两个器件完全相同，则
通常，电流镜的所有器件都采用相同的长度，以最大限度地减少侧向扩散引起的误差。而且加宽沟道会在加工中引入额外的误差（完全相同的器件在加工中的误差较小）。因此，在实践中，人们通常通过并联堆叠完全相同的器件来等效直接加宽沟道的效果。
当涉及到分数比例（如
但是 CLM 也会影响输出电流。忽略 CLM 后，会剩下一项
为了补偿
偏置可以由
对于 M1，
但共源共栅会消耗输出电压裕度。为了使所有器件饱和，节点 P 处的最小允许电压为：
如果
显然，共源共栅结构浪费了一个阈值电压的摆幅。为了解决这个问题，我们需要降低节点 Y 的电压（不一定是 X，因为 M3-M2 是输出路径，摆幅独立于 M0-M1 路径）。我们将输出路径移开，保留原始路径以降低节点电压。
其中
根据这种尺寸关系，
4.2 电流源
那么参考电流是从哪里来的呢？这时我们需要电流产生电路。
以下被称为恒定跨导电流源。
其中
基于这一条件，流经 M4 的电流（作为
在参考路径中：
而在输出路径中：
同时：
PMOS 电流镜强制使
或者：
其中
解为 0 意味着电路可以完全处于截止状态。具有两个不同解的电路通常被称为具有退化解（degenerate solution）。实际上，平凡解（零解）是不稳定的。只要受到哪怕轻微的扰动，电流就会立即增加，最终达到非平凡解并进入平衡状态。
在下图中，假设
为了避免衬底效应，可以将负载电阻置于 PMOS 和 VDD 之间。
为了实现电流输出，再次进行复制：
4.3 跨导运算放大器 (OTA)
通常我们需要单端信号。在这种情况下，经典的差分放大器将不再适用。因此我们需要跨导运算放大器（OTA）来将差分信号转换为单端信号。OTA 是通过将经典负载替换为电流镜来实现的。
其思路是将一条路径的电流镜像到另一条路径并进行相减。假设 M1 和 M2 中的电流分别为
当电流源由 NMOS 实现时，电路变为典型的 5 管 OTA。
OTA 的直流分析
如果
OTA 的交流分析
由于电路并非完全对称，节点 P 不再是精确的虚地。我们可以通过阻抗计算来检查这种非对称性。
让我们回顾一下 MOSFET 的小信号模型。从漏极到交流地的阻抗为
那么在 OTA 的小信号模型中，当 VDD 变为交流地时，节点 F 相对于地的阻抗为：
由于
当两个大电阻并联时，它们的组合电阻仍然很高；因此，该电路的输出阻抗非常高（这就是为什么它适合驱动电流型负载）。由于阻抗不同，两个节点上的电压摆幅也不同。
我们假设 M1 和 M2 相同，因此
顺便我们已知
如果考虑到电流镜的影响，完整的小信号模型为：
计算过程较复杂，其最终结果为：
电压摆幅（Headroom）问题
为了使电流镜（主要是 M4）饱和（或进入更深区域以保持精确镜像），
为了使 M4 饱和，
共模特性
连接两个输入端，此时两条路径的电流相等。由于 M1 与 M2、M3 与 M4 分别相同，节点 F 和输出端的电压必须相等。因此，这两个节点可以视为虚短路。
分析方法类似：
因此：
由此可得：
失配问题
如果存在失配（例如 M1 和 M2 并非完全相同），输出将会失真。假设共模电压产生微小变化
同时：
由此得出：
与无失配的结果相比，该结果在分子中包含额外的项
电源抑制特性
OTA 的 PSRR（电源抑制比）非常糟糕，也就是说，它几乎无法抵抗电源上的噪声。这是因为对于 M3 来说，电源轨的噪声是一个源极跟随过程。因此，
5. 频率响应
5.1 极点和零点
对于一个电子系统，其传递函数可以表示为
其中
请注意，
零点项
那么，右半平面 (RHP) 的零点会使幅度增加 20dB/dec 的斜率。零点还会贡献
左半平面 (LHP) 的极点通过
LHP 零点会贡献 20dB/dec 的幅度斜率增加，但会产生
无论是零点还是极点，在对应于该零点或极点的频率下，相位偏移恰好是 45°；只有当频率远高于该频率时，相位偏移才会逐渐接近 90°。不同的零极点效应可以叠加。
5.2 米勒效应
在许多模拟（和数字）电路中出现的一个重要现象与米勒在定理中所描述的“米勒效应”有关。该定理通常用于简化环路。
米勒定理：如果一个阻抗
证明是显而易见的：
通常，固定的电压比（增益）由主信号路径提供，例如放大器。因此，米勒等效仅适用于与主路径并行的信号路径。
实际上，增益通常是频率相关的。幸运的是，对于许多近似分析，不需要精确的电路特性。因此，作为一种简化，工程师通常使用低频增益来计算米勒电容，然后将此结果应用于高频情况，即使米勒等效严格假设增益与频率无关。
如果应用于获得输入-输出传递函数，米勒定理不能同时用于计算输出阻抗。为了推导传递函数，我们在电路输入端施加一个电压源，得到
通常，反馈环路上的电容会引入一个零点。但应用米勒等效可能会消除零点。以下面的例子为例：
我们假设
有一个极点
但当我们应用米勒等效时，如右图所示，传递函数变为
极点为
我们可以看到，米勒等效可能会丢失一个零点。顺便说一句，米勒的结果并不完全符合精确结果。因此，我们通常应用米勒效应来估计极点，而不是计算整个传递函数。
通常，可以通过节点来估计极点。以上面的右图为例。很明显，输出节点与电路中的任何其他部分都解耦。该节点仅连接一个电阻和一个电容，形成一个低通网络。因此，低通网络引入了一个一阶极点。
将极点与节点关联是一种常用的方法。
为了近似丢失的零点，将输出端接地并将输出电流设为 0。
5.3 CS 级
现在我们需要考虑寄生电容。
主路径显然是 MOSFET，因此
以及输出节点
不要忘记将丢失的零点加回来。
由于
第一个极点称为主导极点，它对频率响应影响最严重。
如果直接从小型信号模型计算，您将得到以下形式的传递函数：
在大多数电路中，极点之间的距离非常大，因此您不需要精确求解分母方程。而是使用韦达定理进行近似：
近似
5.4 CG 级和源极跟随器
CG 频率响应很简单，因为如果 沟道长度调制效应 可忽略，则没有环路。
在输入节点，源阻抗
输出节点很简单
如果
对于源极跟随器，由于其增益近似为 1，不是很大，因此它表现出一些有趣的特性。
完整的传递函数为
如果假设两个极点相距很远，则较低的极点幅度为
请注意，如果您想应用米勒效应，您会发现米勒等效电容消失了，因为增益
现在让我们计算输入阻抗。
然后
在低频时，
在高频时，
请注意，阻抗中有一个
忽略负载电容
得到
在低频时，
5.5 共源共栅
共源共栅级在提高放大器的电压增益和电流源的输出阻抗方面被证明是有益的，同时还提供屏蔽。
节点 A 处的
在节点 X，其阻抗是 M2 的源阻抗
节点 Y 更简单。忽略 沟道长度调制效应，阻抗为
5.6 差分对
极点估计遵循相同的模式，我们不再重复。差分对的特殊之处在于 CMRR。考虑一个带有无源负载的完整差分对。
在输出节点有
然后是共模响应。电路变为
电容可以合并为一个阻抗
KCL 方程给出
得到
输出差模电压
即
注意到 CMRR 有一个极点
当涉及到有源负载的差分对（OTA）时，结果要复杂得多。
右侧的图是通过将
但实际上，您仍然可以使用我们经典的方法来估计极点。在输出节点
在输入节点，忽略
6. 噪声
6.1 噪声理论
噪声是一种随机信号，即使已知过去的所有信号也无法预测。因此，噪声的研究必须通过统计模型来完成。在大多数情况下，平均功率是可预测的。我们在一个时间段
但噪声是随机信号。因此，平均功率也随
为了适应所有类型的信号（如电流），我们消除了分母上的电阻。
当引入频率频谱时，这个概念变得更加通用，也更加实用。从频域的角度来看，频谱应该提供与时域相同的能量（功率）。
显然，
定理： 如果一个具有频谱
传递函数上的绝对值是由 PSD 携带能量且能量必须为正的性质引入的，而平方则来自于
对于实信号
两个噪声源的常见效应并不总是独立的。让我们添加两个噪声信号并检查功率
如果交叉项消失，则两个噪声源称为不相关的；否则它们是相关的。
在大多数情况下，噪声源是不相关的，或者我们可以说它们是独立的。例如：两个集总电阻引入的噪声。相关噪声总是源于同一代或遵循固定的传递关系。例如，电源噪声施加到不同级最终会汇聚到同一个输出。它们源于同一代，因此这些噪声源被认为是相关的。
有时幅度也很重要。然后我们取 PSD 的平方根，得到幅度谱。但请注意，幅度不是
为了衡量系统的噪声性能，我们引入了一个称为“信噪比”（SNR）的指标，定义为
SNR 通常以分贝（dB）为单位测量
请记住，因子是 10，而不是 20，因为 SNR 是功率比。因子 20 用于幅度比。因子 2 来自于将对平方量（因为功率与幅度平方成正比）应用对数。
6.2 热噪声
电阻热噪声
集总电阻由于其原子的热涨落而引入噪声。这种类型的噪声称为热噪声。由于涨落与频率无关，因此 PSD 必须是平坦的。具有此特性的噪声称为白噪声。通常，电阻热噪声可以表示为
其中
由于我们可以用电压幅度来表示噪声（显然是通过戴维宁定理），我们也可以用电流来表示噪声，尽管是通过诺顿定理。
为了与戴维宁模型相匹配，电流噪声表示必须进行修改
MOSFET 热噪声
MOSFET 也表现出热噪声，主要由 DS 电阻引起。沟道热噪声可以通过漏极和源极之间的并联电流源来建模。
具有噪声电流 PSD
另一个噪声源于栅极上的分布电阻。对于相对宽的器件，沟道噪声通常可以忽略不计，栅极电阻变得占主导地位。现在以最简单的 MOSFET 为例。
假设栅极多晶硅的总端到端电阻（从左到右）为
由一小段贡献的跨导
从输入到
然后从栅极电压噪声转移的总电流为
因此，栅极上的分布电阻可以等效为一个值为
假设第一个布局的总端到端电阻为
6.3 闪烁噪声
这种噪声出现在 MOSFET 的沟道中。由于硅晶体不可能完全完美，它必然包含一些缺陷。当沟道导通时，这些缺陷可能会随机捕获和释放电子。从外部观察，设备中的电子数量在随机变化。由缺陷引起的噪声称为闪烁噪声。
显然，较慢的电子更容易被捕获和释放，而较快的电子则更难。因此，闪烁噪声的 PSD 不是平坦的。相反，
叠加在栅极上。
据信，其他一些现象也导致了闪烁噪声。因此，在现实中，表达式可能更复杂。但到目前为止，没有人知道原因。
显然，MOS 同时受到热噪声和闪烁噪声的影响。在低频段，闪烁噪声占主导地位，而在高频段，热噪声起着最重要的作用。转折发生在频率
这个频率称为拐角频率
6.4 通用噪声模型
考虑一个具有一个输入端口和一个输出端口的通用电路。我们如何量化噪声的影响？自然的方法是将输入设置为零，并计算电路中各种噪声源在输出端的总噪声。这确实是实验室或仿真中测量噪声的方式。
但是，输出参考噪声不允许公平地比较不同电路的性能，因为它取决于增益。仅考虑输出噪声，我们可能会得出结论，随着增益的增加，电路会变得更吵，这是一个不正确的结论，因为更大的增益也会在输出端提供成比例的更高信号电平。也就是说，输出信噪比不取决于增益。
为了消除增益带来的困惑，我们将所有噪声等效到输入端而不是输出端，得到输入参考噪声
输入参考噪声表明输入信号被电路噪声损坏的程度。但它无法通过实验测量，因为输入参考噪声只是一个数学等效。物理上，噪声源仍然分布在系统中，而不是在输入端。
但仍然存在一个问题：如果我们应用一个简单的戴维宁模型（只有一个电压源），这意味着当最后一级的输出阻抗远大于系统输入阻抗时，输出噪声会消失，这与实验观察结果相矛盾。当源阻抗远小于输入阻抗时，简单的诺顿模型也会遇到同样的问题。为了解决这个问题，我们必须同时应用这两个模型：输入参考噪声由一个电压源和一个电流源组成。
为了详细说明，以 CS 级为例，并忽略闪烁噪声。
第一张图显示了电压分量的影响。输出噪声是
增益为
为了获得输入参考电流，我们必须包括输入电容。输出是由电容上的电压产生的。
因此
结果是
假设源阻抗为
从上面的方程可以看出，如果
我们可以得出结论，如果
则输入参考噪声电流可以忽略不计。
有些人可能会怀疑两个源在系统中的某些源中重叠并变得相关。最初我们假设它们是不相关的，并通过两个边界条件求解了源。在数学上，这两个源有唯一的解。因此，不必担心源的重叠。
6.5 单级放大器的噪声
由于 MOSFET 的栅极通常用作输入端，而栅极具有高阻抗。因此，噪声电流源会遇到一些问题。为了解决“高阻抗问题”，电流源应移至其他位置。此方法仅适用于单级放大器。
引理： 栅极上的噪声电压源
由于电路具有相等的输出阻抗，我们仅检查输出短路电流。如果输出电流仅由电流源提供（图 c），
求解得到
如果仅由电压源提供，
求解得到
现在代入
共源（CS）级
我们在 6.4 节的示例中已经计算过。这里不再重复。现在我们只关注闪烁噪声。
由于闪烁噪声可以直接叠加在栅极上，总输入参考噪声为
为了降低噪声，应最大化跨导。
共栅（CG）级
共栅级用作电流缓冲器。在输出端，噪声由
回想一下，共栅级的增益为
然后开路输入端。由于源极端开路，MOS 噪声流向源极并遇到无穷大的阻抗，突然提高源极电压并抑制
对于闪烁噪声，它最初应用于 MOS 的栅极，即
除以增益以获得输入参考电压
输入参考电流更明显
源极跟随器
噪声来自两个器件。忽略闪烁噪声。输出噪声
源极跟随器的增益为
然后转移回输入端
共源共栅（Cascode）级
M2 消失，因为在节点 X 处 M2 的噪声电流被强制等于 M1 的噪声电流。
6.6 差分放大电路的噪声
差分对
由于两条路径上的电流噪声不相关，并且没有人可以说它们具有反相，因此源节点不能视为虚拟地。所以半电路等效不适用于此。
假设
转移到输入端，增益为
单端噪声应包含在差分信号
闪烁噪声的工作方式相同
然后考虑
假设
因此，
电流镜
REF MOS 引入了热电流噪声
请注意，REF MOS 以二极管模式连接。从栅极（实际上是从漏极）看，阻抗为
M1 的输入首先通过此传递函数处理，然后通过
因此，由热噪声引起的噪声（包括 M1 本身的热噪声）为
至于闪烁噪声，只需将
运算跨导放大器（OTA）
M1 产生热噪声
叠加两个闪烁噪声
然后这些电压噪声通过
假设 M1 和 M2，M3 和 M4 分别相同，则电流可以简化为
加上 M1 和 M2 的闪烁噪声
OTA 的输出阻抗为
将结果除以
不要忘记 M1 和 M2 的闪烁噪声